TE

Considérons maintenant l’intégrale

rl—e (ye—?)"

À 2 Een e-1"dv.

La fonction ve-—* devient maximum pour »—1, et nous posons name re 1—v0—=t, (—thet=e-*,

Pour des valeurs suffisamment petites de x, on peut développer t suivant les puissances croissantes de x

t=ax+ax +a; + ..,

et le premier terme est évidemment V2zx On pourrait exprimer A, 4, ... d'une manière indépendante à l’aide de la série de Lagrange; mais, comme il s’agit ici simplement de calculer quelques uns des premiers coefficients, une relation récurrente semble bien préférable,

dt | x ; , On trouve lix —22(1—t), et, différentiant n fois, puis posant

æ=0,t=0, il vient

NA On +(n—1)@4an-1+(n—2)a;an-2 +...Llana —=—2an-: (n Z 2).

En partant de a, — V2, on en déduit a,, as, ... et t= 1—v=V2rz-ge + LV2m + it, —du=(V2-$r+i1V2x +8 x)dx, a MICTE TSI ES Va...) En observant encore que ee te en VB PE GB pm 228 +]

il vient

…. + PE 'e-nraoe-e f'e-npitarata a+. Je, Fe V3

A, As, A3, -.., étant des polynômes en 7. La limite supérieure L de l’intégrale au second membre dépend de la valeur de la quantité positive k. Nous choisissons maintenant k de manière que la série 1+A,x+ A, +... reste convergente dans tout l'intervalle d'intégration. De cette manière, h a une valeur positive finie tout à fait indépendante de n. En y regardant de plus près, on voit même que k est une simple constante numérique, indépendante de 7 aussi; car le rayon

de convergence de la série e‘—1+V2zx+... ne dépend pas de ».

: 1+h(pé5 nn :