Supposons a = 0 alors on a
Mina lie oui: = =v.f 1% 92.
On établira cette formule en montrant d’abord que pour a > 0 la dérivée de l'expression au second membre est e#, et ensuite que cette expression devient infiniment petite en même temps que a. Pour abréger nous omettons cette démonstration. |
Il est évident d’ailleurs que cette formule suppose bien a >0, car la fonction y (a) est impaire. Si l’on considère les valeurs imaginaires,
on trouve que a doit être de la forme reïs avecr >0 et —5< pP<L+ T
En employant maintenant l'identité
Î La An —2 ag?" 1.3: ++... +x opus on a évidemment =" v. geea-2 qu = | RE ee
On retrouve ainsi le développement (1) mais avec cette nouvelle expression du terme complémentaire
1 ne 7 . . D » . + R nn —— V, :l 2 ( ) n ee D J 1
En partant de cette formule on peut, après avoir posé
(MAD as lresiihniirenss). sen Ln
e%0-" da.
développer R, suivant les puissances descendantes de n, et l’on obtient
@......8= Po + 2214 TH Où P5, P,, P,, ... sont des polynômes en 7, P; étant du degré 24 +1 Po=n+e; 1,5 de REC Area. 24 1 2160”?
1, Ty een Ha Bu Re CT 187 Tia Fo + 1180 7 — 1858
Ce développement est divergent mais nous avons dit déjà quel sens précis il faut y attacher.
Pour la manière d'obtenir ce développement, nous devons renvoyer à une thèse présentée à la Faculté des sciences de Paris, insérée dans les Annales scientifiques de l'École Normale (8ème Série, Tome 3, 1886, p. 201—258).
On conclut de ce développement que R, s’évanouit pour une valeur finie de », dont on trouve le développement suivant les puissances descendantes de n égal à
6 " 405 n ee 25515 n° et comme nous avons posé a = n + », il en résulte
1 nn.
de mé TA 6 Ÿ 405 AUTRE
C’est précisément le développement qu'il fallait obtenir.
6. En considérant, ainsi que nous l'avons fait, la quantité a? comme racine de l’équation transcendante
AR
la restriction que n soit un nombre entier, devient inutile et l’on définit
e%t-2 dx = 0
ainsi une fonction continue de ». Il est certain aussi que le développe ment obtenu donne une valeur fort approchée de cette fonction ai dès que n est un peu grand, sans être nécessairement entier.
Si l’on regarde, au contraire, la manière dont nous avons défini originairement la quantité a,, on voit d’abord que l’équation (3) n’a un sens que lorsque n est entier. Il n’est pas possible d'étendre cette définition à d’autres valeurs. En regardant au contraire a? comme la racine positive de l'équation (4)
co pm : (2n am—i)|m
on peut bien supposer x variable d’une manière continue, mais la fonction a? qu'on définit ainsi, devient discontinue lorsque la variable est égale à la moitié d’un nombre impair. Il nous semble que ces circonstances rendent à peu près impossible la déduction du développement (5) en partant directement des équations transcendantes (8) ou (4).
7. Supposons qu’on ait a, 1 < a < a, en sorte que Pa) >Ti+Ti+... HT, Pa) KT HT +... + T1 + Tu Calculons la valeur approchée de
" r'(2n) T O4 1) (2 aÿ"—1 T'(n)
en supposant a grand.
Il est visible que la quantité y—4— n reste toujours finie, elle
$ : Es Il 7 ; eut à peine franchir les limites — et — =. En désignant donc P P 6 6 8 : 5 ; l par €, €’, s”, e” des quantités qui s’évanouissent avec n°na:
T'(2 n) = (2 nŸ"e—2n V= rs T(n)=n'e—" Va + &')
m\ùTÉ a?n—1 noie (1 + 1) =#1(1 Le) Il 5
et V2n 1+e 1+e
PE BRON RUE SVT EPL ne PE Ve
Ainsi le développement (1) permet de renfermer (a) entre deux
limites dont la différence est approximativement LP
Soit a—4, on voit que a; < a < 4; et nous trouvons
8. Nous ferons voir encore comment on peut pousser plus loin l’approximation et obtenir une valeur très approchée du terme commentaire R,.
Reprenons la formule
— a ERA @ pl es À f'a-inen dom ER? ze dx
on On +1 a, ou 1.3...(2n—1) « ex Ri = on +1 mn +3 ‘| 1 x ri d® (+3) ai —n En posant n0 e FREE ja Br (+) ñn dn
OM 55 csrvinrant, [niet
nous aurons
