AE
M3 mM=
m dir Li %k + E, te (ais + Aoi Lo +... + Ani Xn) ñn
le premier membre est nul ou négatif. Au contraire dans le second membre la première partie -
ik Li Lx
M3 nM>=
est nulle ou positive, et il en est de même de la seconde partie
2 (ai + Goi Lo +... L ani Ln).
Par conséquent les deux membres de la relation (2) sont nécessairement nuls tous les deux, ce qui exige:
==... —=An=0. , La première partie de notre proposition se trouve établie par là. Pour démontrer aussi la seconde partie nous observons qu'en supposant
==... —=Xn—=0
Tn+1s Tn+2, 3 Um positifs les n premiers équations (1) montrent qu’on a Eh 4 4 LS 8 à COS
dès que l’un (et seulement un) des indices i, 4 surpasse ». Et ensuite il est clair qu’on doit avoir
==. A." Ù "À Cette dernière conséquence démontre la seconde partie de notre proposition.
Les équations (8) font voir que dans le cas exceptionnel que nous considérons on a
n nn m m X=2ZZ=airtitr + Z: EE dix Gi Xr 11 n+1in+1
en sorte que X se décompose directement dans la somme de deux
formes quadratiques positives des variables x,,4%, ...,%n @t Æn+1, Æn+2, ss LE CB DEL... =M=0 se présente alors dès qu'on prénd'é mes; sh=0 |
D’après ce qui précède il est clair que lorsque X ne se décompose pas directement dans la somme de deux ou d’un plus grand nombre de formes quadratiques d’un nombre de variables moindre que "=, alors Li, Toy.) Em SONt tous positifs, même dans le cas que quelques-uns des &; sont nuls.
Corollaire. Soit D le déterminant de X et désignons par D;4 les mineurs de D en sorte qu’on a |
D'xi= E& Dii + & Doi +... + Em Du:
alors aucun des mineurs D;; ne peut être négatif. Et si le cas exceptionnel examiné plus haut ne se présente pas, tous les D; sont positifs.
2. Supposons que sur l'axe des abscisses O X on ait dans les points A et B dont les abscisses sont — 1 et + 1 deux points matériels fixes, la masse du premier en A étant a, celle du second en B, 8 (a >0,8 >0).
Imaginons encore n points matériels de masse égale à 1, qui peuvent glisser librement sur l’axe et placés entre A et B. Supposons enfin que deux points matériels se repoussent en raison directe de leurs masses et en raison inverse de leur distance. Dans ces conditions il y a une position unique d’équilibre pour les n points placés entre A et B, et si l'on désigne leurs abscisses dans la position d'équilibre par
RL R SRE >... Ja Li, Los --., An SONt les racines d’une équation p (x) = 0
p (&) étant un polynôme du degré n défini par l’équation différentielle G) . .(—x)p'(x) +2[a —B—(a+B)x]p' (x) +Cp(x) = 0.
C est une constante dont la valeur est
n(n+2a+2p—1) comme on le trouve en cherchant le coefficient de x" dans le premier membre de (5).
C’est là un cas particulier d’un théorème démontré dans ce journal, t 6, p. 321 et suiv. !)
3. Les racines x,,2,,..., x, dépendent de a et £ et l’on peut les considérer comme fonctions des variables a et 8 qui doivent rester toujours positives.
Lorsque a et B varient d’une manière continue, x; varie aussi d’une manière continue et comme deux racines ne deviennent jamais égales, leur ordre de grandeur fixé par les inégalités (4) ne sera Jamais changé.
Nous allons démontrer les inégalités
D ne M.:........ i<o En effet, les quantités x, , ..., x, dépendent de a et de B par les relations ai tai ta pe
En prenant les dérivées par rapport à a on obtient pour les êms le sy-
stème linéaire suivant :
ù 1 É d Zo d Zn Se 1 (8) Qu hais +. + ain $ A (= 1, 2, » n)
où
PAR 2 1 1 1 CT it PT PTa— PT Tai + EPP PI LIL
Ent Eee Air = Axi = (x: — 2x)
Ce système rentre évidemment dans le type des équations (1) car la forme quadratique
Saxe Y( PT É)x +YDs— pers Lou —X x)
est positive, et x; + 1 est aussi positif.
JæÆ 0x Ô Tn Les valeurs de +: <<, Dia? « 1 Jay SONt donc toutes positives.
On trouve de la même manière
ù x Ô Lo dun | 4 di Te i2 dp +. LoLN Ÿ bus Doit fe1,82.:45 0)
Ici les seconds membres sont tous négatifs, et il en est donc de même
0 Ti des valeurs des dB
4. Considérons le cas particulier a — £, en sorte que x; est fonction de la seule variable a. Il est clair d’abord qu’on aura
Di + Dan = Lo + En-1 = T3 +ln-2—=...—=0.
Aïnsi en supposant n —2m ou n —2m + 1 il suffira de considérer les racines positives M, M, 2) Don
Nous allons énottrer qu’on a toujours
D A Tree mi, .. SN En effet supposons d’abord n—2m, on aura a | 1 (10) xi +1 : De Ur 77H dpey-rr@ EL I l ]
Es 60 © —— +... - ——— = 0 | “seed Cat Faite (fæl,2..+
d'où l’on déduit dx … a un, 2 Ti (11) . . . di da + aie La TT im den noipzl2s
en posant a a 1 ii — ee Dos BU 1) i ME D ED ie TES ss te AS ae TNT Rd Ge 1 1 1 1
M ea Fe Foi laessint LE (Ci — Xn)
1 1 1 1 a Toute Te. ds (Li + Zn)
Le système (11) rentre encore dans le type des équations (1) car aix est négatif et la forme quadratique
mm | | ER, 47 07 2 Pranxixre D (Se NT are pren a +20)x
+ > De a — mi (ti + ss) nn
est positive. Mais les seconds membres dans le système (11) sont tous
négatifs et l’on a par conséquent
dx;
d a me
Dans le cas n —2m + 1 on aura æy41—0, et
a 1 1 F0 9 tas fs ma en 1 1 Tata ——. . PR RTE PTT LL Fan Di + Zm Tr G—=1,2,...,m)
La seule différence avec les relations (10) consiste, comme on le voit,
- Ce terme
3 ; 1 dans le terme 3%, ui est venu remplacer le terme 2x u
î "1 + 2%: 92%: Ti
provient de l’action des deux points matériels dont les abscisses sont CE 9,
SUR LES RACINES DE L'ÉQUATION Xy = 0. 79
‘ É ; dx; On trouve les équations linéaires suivantes pour les FE
— + + aim ae me -
ME RH TG re Ze
Œm ti nes) 1 1 Pia EURE mit) (ci — 2x)
et l’on en conclut les inégalités (9) comme tout à l’heure.
5. Les démonstrations des propositions éxprimées par les inégalités (6), (7), (9) que nous venons de développer, nous semble la plus simple si l’on n’a en vue que ces inégalités elles-mêmes. Mais nous avons retrouvé ces inégalités encore comme conséquences d’une proposition d’un caractère plus général, à l’occasion d'études sur la quadrature mécanique de Gauss.
6. Nous allons développer maintenant quelques conséquences qui découlent presque immédiatement de ces inégalités (6), (7) et (9). Supposons d’abord
l'équation (5) devient (1 — 2°) p” (x) — 2 x p' (x) + nn + 1) y (x) —0 ainsi x; est une racine de l’équation obtenue en évalant à zéro le polynôme X, de Legendre.
Prenons ensuite
d=?, P= gr
On a A — 2)p" (x) +(1—22x)p" (x) + n(n + 1) y (x) =0
ou si l'on pose x = cos @,
p (x) cos 9 P=Y;,
ae tits >) = 0,
COS (n + 3)6
p (x) = ï — cos D e et par conséquent ei eos BTS 2. 2n+1 Dans le cas 1 3 a ru , dbz Fa
on trouve de la même manière
x = cos,
sin (x L 3) œ
p(X) = — 1 sin 2 qe gi 008 217.
DT VE EE Mais d’après les inégalités (6), (7) il est clair que la valeur de x; qui | 1 | \ correspond à a — 23:6—=% doit être plus petite que la valeur de x; pour a=,, B—-, et plus grande que la valeur de x; pour a =", ne Fa
Ainsi on a la limitation suivante pour la racine x; de l'équation is 0 QDir (2i—1l)x (A) se 1.0 CO8 INIST
Cette proposition est due à M. Bruns qui l’a obtenue dans le tome 90 du Journal de Borchardt, p. 827.
7. Nous pouvons obtenir des limites plus étroites à l’aide de j'inégalité (9).
Prenons en effet
on trouvera
æ = COS, p(x)=cosnvy, __ * (@i—1l)x Ti C8 5, et en second lieu 3 8 pr PL:
on trouve x = COS, __sin(n +1) p (x) = side ?
Li = COS —— EE
D'après les inégalités (9) on en conclut la limitation suivante d’une racine positive de one 26-20:
bia D ao 508 On
Li < COS “—
: i Pour une racine négative on aurait évidemment
in (21—1)x Ni 0 Sn
Soit n — 10, on a d’après (A) limites 0,98883 0,95557 lu ? (0,82624 0,73305 0,62349
Ts
et d’après (B)
limites
Ti | 0,95949 | 0,89101
Lo 0,84125 0,70711
Ty 0,41542 | 0,15643
8. La proposition d’algèbre démontrée dans le n° 1, ou plutôt le corollaire que nous en avons déduit, se trouve lié étroitement à une question qui se présente dans le problème de la distribution d'électricité sur un système de conducteurs. :
Soient A,, A, ..., An les conducteurs, &, e,,..., en leurs charges
respectives et V,, V:,'.
On a
., Vn les potentiels correspondants.
(a) . . . . . . Vi=pae +pag+.::+pin en (= 1, SYHE, m)
et réciproquement
(8) . . . . . .m=quV; taie... Lost (= Lines 08)
(Maxwell, Traité d'électricité et de magnétisme, $ 87.)
La forme quadratique
ZZQirtitr
est positive. Le coefficient positif g;; est la capacité du conducteur A; tandis que g;x est un coefficient d'électricité induit et négatif.
Le système (5) rentre donc dans le type des équations (1), et d’après notre corollaire les coefficients du système (a) sont donc tous positifs, ce qui est bien connu et ce qu’on établit directement à l’aide de la
théorie du potentiel,
Mais le système (8) n’a pas la même généralité que le système (1) car on a entre les coefficients gi les relations qi + gie +... + Qim 20 (i—=1,2,..., M) tandis que dans le système (1) on n'a pas nécessairement les relations
correspondantes entre les aix.
Mais aussi dans le système (a) les pix ne sont pas seulement positifs, la théorie du potentiel montre qu'on a en outre ;
Dii Z Pix.
D'après cela il est fort probable que si l’on assujettit dans Je système (1) . . . . . . dat Haiom +... + aimTm—= 6:
(i=1,92,..., M) les coefficients a:x à ces conditions additionnelles : 8 = Qi + ais +... + aimZ20, il en résultera pour les D;4 la conséquence Di Z Dix.
C’est ce que nous allons prouver en effet.
9. Supposons d’abord 8; > 0 (i—1,2,..., M) alors on a Dii > Dix.
G2Zk) Il suffira évidemment de faire voir que D,, > D, À cause de Dé —=Ë6 Dis +2 Dos +... + Em Di cela revient à montrer que pour =+1, = —1, Ei—0 (> 2) la valeur de x, tirée du système (1) est positive, Or on a
m m Ebtim0= Et, 1 L
d'où l’on conclut d'abord que les x; ne peuvent pas être tous nuls ou négatifs, ou bien tous nuls ou positifs et ensuite
X > Los Donc si x, était nul ou négatif, x, serait négatif. Supposons donc que Li Lu 0 (m>n2>2) soient nuls ou négatifs, et
Tn+1s Tn+2, :.., Um positifs. On devrait avoir
m n m m E Eiti—=O0—=EXi(antiiln+1 +... + Amilm) + EE Gix Li Tr n+1 L n+iln+i1
ce qui est impossible car le second membre est positif. On a donc nécessairement x, > 0 ou
Il est clair maintenant que dans le cas Si > 0 on doit avoir nécessairement Di:2 Dix
car un changement infiniment petit des a;; suffit pour rentrer dans le cas 8; > 0.
10. Cherchons encore les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'on ait D; =D; D'après ce qui précède il est clair qu’au moins un des s; doit être nul mais cela ne suffit pas. | En prenant comme tout-à-l’heure
SUR LES RACINES DE L'ÉQUATION X,y = (0. 85
la condition D,, = D,, revient à x, —0, et les inconnues x%,, %, ..., 2m se trouvent déterminées par le système
Fe Lo + @93 Lg +... + Gom Xm = — 1, (1) Ag2 Lo + A 83 Ly +... sm %m— 0, Am 2 Lo + Am3 La +. . + Am m Xm — 0.
Deux cas sont à distinguer.
