LIT

(Acta Math., Stockholm, 9, 1886, 385-— 400.)

Sur les racines de l'équation X, — 0.

1. Nous aurons à invoquer dans la suite une proposition d'algèbre que nous allons établir tout d’abord.

Soit

m m X=ZEEa;r tir

une forme quadratique positive des variables %,, %, ..., Æm.

On sait que les coefficients a;; sont positifs. Nous ajoutons maintenant la condition que les autres coefficients a;x soient tous négatifs ou nuls.

Considérons les m équations linéaires

PR sr. pen am + aim Em = Bi,

Nous supposons que les quantités £; sont toutes positives ou nulles. Dans ces conditions on peut énoncer la proposition suivante: , Aucune des valeurs de x,, 4, ..., æn tirées des équations (1) ne peut être négative, et si les quantités £; sont toutes positives alors x,, M... le le sont aussi.”

Dans la démonstration suivante nous ferons abstraction du cas trivial

he... fe 20

dans lequel on a aussi

On a

m m m Zéti= E Er xitr 1 s A à

et il est clair par là qu’au moins un des x; doit être positif car le second membre est positif. |

Mais supposons que

dire slt soient négatifs ou nuls, et Tn+1, Tn+23 :.., Tm

positifs.

Dans la relation