MS 0 M

se décompose directement dans la somme de deux ou de plusieurs formes quadratiques.

Alors les variables

Lo ; Ta ..…., Lm

86 SUR LES RACINES DE L'ÉQUATION Xy = 0.

se décomposent en plusieurs groupes. Soit Lo 3 La ) ..., An

le groupe dans lequel se trouve 2.

Le système (1/) se décompose en deux systèmes relatifs aux deux

groupes de variables

Lo ; La y “F9 Tn ; Ln +1) …., Tm :

et on voit qu'on aura:

Lo L'O, La LO, ….. Tn L'O, Ln+1= Tnt... = m0,

La relation

08% +... +isuta permet donc de conclure:

Da nn nu a 0,.1.3.5 ren

Réciproquement, si les conditions (b) sont vérifiées et qu’en outre on

a identiquement :

mm nn m m Z EE Girz Li Tr = ZE ZE Gui Di TL +- Z ZE dix lidr 2 2 2 2 n+in+1 alors le système des valeurs de x,,,,...,æn tirées des équations (1'),

joint à la valeur x, —0, satisfait au système (1) et l’on a par conséquent D,,—D,.. Pour le montrer il suffit évidemment de vérifier la première des équations (1), ou bien l’équation obtenue en prenant la somme des équations (1). Or cette dernière

84 Li + 80 Lo +... + Sm Lm = 0

se trouve vérifiée évidemment.

Nous avons supposé ici n <m, pour n—=m on rentre dans le premier cas; et l’on a le résultat suivant.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que

Di = Die

consistent dans ce que, pour une valeur spéciale de n

2<n<mM on ait (D) . . . h 8 = 0, 83 = 0, , tu == 0 et Boni lguro =. lim = 0; . Asn+1 = dsn+2 =... = 08 m—=O, An,n+1 = Œn,n+2 —= —= An,m— 0.

Dans le cas n —m les conditions (Il) disparaissent.

11. Supposons les conditions (1) et (II) remplies, il n’est pas permis

de conclure que les valeurs de x,,...,æ%n sont négatives, car la forme nn Z EdixtiXr 2 2

pourrait encore être décomposable. Mais si cela eut lieu, il est clair que les conditions (1) et (II) seraient encore satisfaites pour une valeur

plus petite du nombre n.

Si donc nous supposons que n soit le plus petit nombre pour lequel

les conditions (I) et (II) sont satisfaites, on aura Lo << 0, DR rheus Lac 0, Tn+1—=Tn+tI=... = Em = 0 et à cause de Dxi=Dii— Do:

nous pouvons donc ajouter :

la condition D,, —D,, entraîne nécessairement les relations

Dii < Dai pour i=2,3,...,n,

Dii= Do:

pour i >n.