RE . 19=Ù

En supposant mod z2— 0 < 1, la série est évidemment convergente et l’on a

(ee)

mod f (2) < TE

PA . . L2 LL LL Développons -—" suivant les puissances croissantes de z, il vient An — 2

O= +++ 1 /z A à +afGratat.

La série double restant convergente quand on remplace chaque terme par son module, on peut prendre les termes dans un ordre quelconque. En particulier, il est permis d’ordonner suivant les puissances de z; la fonction f (2) peut se mettre sous la forme

(PE fG)= D cz,

et le rayon de convergence de cette série est égal à l'unité. Il est clair aussi que le module d’un coefficient quelconque cz ne peut surpasser la

constante >> à — 1,202...

2. Nous allons étudier maintenant la manière dont varie la valeur de (2) lorsque z s'approche d’une certaine manière de la circonférence du cercle de convergence C.

Mais il faut d’abord préciser les valeurs des constantes

Gi Der se Si l’on représente ces quantités dans le plan par des points PP ces points se trouvent sur la circonférence du cercle C.

Nous prenons a,, a, de manière que P, et P, se trouvent aux extrémités d'un diamètre du cercle.

Nous choisissons ensuite 4,, a, de manière que la circonférence se trouve divisée en quatre parties égales par les points P,, P,, Ps, P,.

En continuant ainsi, on choisira a;, a,, a;, a,, de manière que les points P,, P,, ..., P, sont les sommets d’un polygone régulier de huit côtés inscrit dans le cercle.

Généralement pour 4—2"-1, on devra prendre

Ak+13 Ak+2,..., 42k; de manière que la circonférence C se trouve divisée en 24 parties égales par les points P,, P:,..., Pax.

Ayant défini de cette manière la suite infinie M Dis ihs, il est clair qu’on trouvera toujours un nombre infini de points P; sur un arc quelconque de la circonférence, si petit qu’on voudra le choisir. Il importe de trouver une limite inférieure de mod (a; — &;) (rs) Le nombre a, doit se trouver dans une des suites Ak+1, Ak+2, -.., A2k, (& = 2"), et il est évident qu’on peut prendre alors pour cette limite inférieure le côté du polygone régulier de 2k cotés inscrit dans le cercle,

mod (a, — as) = 2 sin .

et, par conséquent, 5 TT mod (a; — a;) > 2 sin 21

Pour simplifier, nous remarquons que l’on a

2 sin x > %, tant que x ne surpasse pas de donc D . . modé,. — a.) +7 (r > 8).