Soit a NE A () . . . nn Su Heat
une série procédant suivant les puissances descendantes de x. Il est clair qu'on pourra, en général, la transformer en fraction continue de la manière suivante:
(>. .r—= + g + — ii — D RER. = ere À Cn—1 Can 1 + En désignant alors par ER M don Q «x Q Oæ+a
: n les réduites de cette fraction continue, le développement de œ suivant A n
les puissances descendantes de x donnera une série dont les n premiers termes coïncident avec ceux de S.
La fraction continue F peut se transformer encore en F’
(3) . . . . F' ec 3 " c c.
x + & —- ds Ps TA + 2 € 3 C4 % + © + CG — % + Ca + C5 — : P; C A 4 ; et, en désignant par —— 1, ,.,, *, ... les réduites de cette se- Qi Le + G Q, conde fraction continue, on a identiquement PSP, Qu Qn 2. Il est clair que les coefficients c,, c,, ..., &, ... sont des fonctions rationnelles de @,, &,, ..., än, ...; & du reste, ne dépend que de dj» dj, ..., An.
Posons do a; .. An:
a CRTC D. Am, An! 7 se ” | An —1 An +. n—2 | a; da ... An | | «à a D 2-1, nl % RP An An+1 :.:. ini on aura c + do; C —An-1Bn (6) . . . , . . . . ortis F7 B, — | C is du +1 Bh 1 .
: An Bn
La démonstration de ces formules ne présente aucune difficulté, et nous ne nous y arrêterons pas, renvoyant le lecteur qui désire plus de détails sur ce sujet aux Mémoires suivants:
Frobenius und Stickelberger, Ueber die Addition und Multiplication der elliptischen Functionen. (Journal de Borchardt, t. 88.)
Frobenius, Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen. (Journal de Borchardt, t. 90.)
8. Mais le problème de la transformation de la série en fraction continue est susceptible d’une autre solution que nous allons développer. Envisageons d'abord le problème inverse, c’est-à-dire cherchons à exprimer réciproquement les a, au moyen des «. Nous proposons, pour ce problème, la solution suivante :
Calculons d’abord une série de quantités a;,x, Bi,x d'après les formules suivantes &,0= 1, Me SR RER lorsque (DS + Bu: =0 ilorsqie 1>%k;
Bo,k = 00,# + Co &,x, B1,k — d1,k + C4 A2,k,
(7/) De . B2,x = G2,k + C6 a8,k,
Q0,k+1 = C1 Bo,k) O,k+1 = C8 Pi,x + Box; A Ba,x + B1,x,
dre D ie te ei UD US TE ee ,
Qi,k+1 = Cœit1 Bike + bPi-1,»,
LAN OT UE Le ORAN es Me UE ON Le UE en Ne UN 0 Ve
Si l’on dispose ces quantités dans le Tableau suivant:
| @o,o : Boo Go Po,1 Go,2 | Boz | 0,3 | Po,s RU: ae | Poe | a,3 | Bas os |
on voit que chaque colonne verticale se déduit de celle qui la précède, et, en effectuant le calcul, on a
1\1lalatal tan .| d+d+ticutan …
ne % 1 | 1 Later) a+o+c+c Lire ———— | 1 | 1
Ceci posé, les quantités a,, ... s'expriment au moyen des ax, Bix, ainsi qu’il est indiqué par le théorème suivant: I. La forme quadratique à une infinité de variables
