Soient f—sécx, 2—=tang x: on obtient facilement
f' =séczxtangzx, f' =sécx[1 +22], f'''= séc x tang x[5 +62], Il existe, entre les coefficients des polynômes en z que l’on obtient ainsi, des relations remarquables dont nous allons indiquer la nature. Considérons les dérivées d'ordre pair et écrivons
f = séc æ[a,], f' =séczxl[a, + b,z], f#— séc x [as + bo 2 + © À],
en sorte que
PR : An X" ér— 2 155...Gn)
La forme quadratique à une infinité de variables
» ke aitx Xi Xx 0 0
SUR LES DÉRIVÉES DE SÉC x. 181
est égale à Ç (ao Ko + GX + & Xe +...) Phi ve #iL +
La considération des dérivées d'ordre impair donne lieu à une proposition semblable.
= 7 Lo 1°
2. On rencontre des relations semblables en considérant les dérivées de tang x, et des fonctions elliptiques sin am x, cos am x, A am x.
Nous ferons connaître prochainement la démonstration de ces propriétés, qui sont liées intimement à certains développements en fraction continue dont voici un exemple:
Soit ee a (— 1)" c, x?” ; came 2 15 8... (an) on aura | e"*csamed =?" a zx Lx se 1 NE + MALE 42e Hit. @n—1 | (2 n)° x?
AA z+..
La série est divergente, mais la fraction continue est convergente et représente l'intégrale.
(Paris, C.-R. Acad. Sci., 108, 1889, 1297—1298.)
Sur un développement en fraction continue.
(Note, présentée par M. Hermite.)
Considérons le développement bien connu en fraction continue de l'intégrale
où f(2) ne change pas de signe, et posons Pr I = x Rh, TIULE
. étant la nième réduite.
Qn
Alors R, est le minimum de la forme quadratique P (Mis Los +. , En)
=f le [+a(—2)+a(r—2 +... +a(x—2)"Pdz.
x —2 La vérification de ce théorème n'offre pas de diffculté. On peut déduire de là facilement lim R,—0, n= ©,
tant que l'intervalle (a, b) est fini.
Mais, dans le cas b— «, on n’a plus nécessairement lim R, —0. Ce-
pendant nous avons reconnu que cela a lieu encore dans un grand nombre de cas, notamment lorsque f(2) est de la forme
gP—le—1a2 ou gb—le-qaV'e,
Il est clair aussi que, lorsqu'on a lim R, — 0 pour une forme particulière de f(2), cela aura lieu encore en remplaçant f(2) par F(2), où
F(2) < Af(),
A étant un nombre fixe.
Enfin ces considérations s’appliquent encore si, au lieu de l’intégrale I, on considère une somme
composée d’un nombre fini ou infini de termes.
(Ann. Fac. Sci., Toulouse, 3, 1889, H. 1—17)
Sur la réduction en fraction continue d’une série procédant
suivant les puissances descendantes d’une variable.
