Pour démontrer ce théorème, soient
À = Co Cao,o Xo + G0,1 X1 +. F + Co Ci Co La, X,+..F
B = cc; [Boo Xo + Bo,1 X1 + - - P + Co Ci Co Ca CB 1 X;, +...F
Ce sont là des formes quadratiques qu’on pourra mettre sous les formes suivantes
A= >> w" A;,x Xi Xx, 0 0
B= >> B;, x Xi X4.
es
Nous remarquons d’abord que Ai+1,x = Bi,x.
En effet, la valeur de A;4:% est © Co do,i+1 %,k + Co Ci Co Ai +1 di, k + Co Ci Co Ca Ca Go +1 A, k +. c’est-à-dire, d’après les relations (7”), (8) Co Go, x C1 Bo i + Co Ci Co a, (Po + Ca Pa, i] + Co Ci Co Ca Cy Go, à [81 i+ Che il+... tandis que la valeur de B;,4 est Co Ci Po, i Bo, À Co C1 Co C8 Pa, i Ba, e + Co Ci Co Ca Ca C5 Bo, à Ba,x + +; c'est-à dire, d’après les relations (7’),
(9) Co Po il ao, x + Co x]
+ Co Ci Co Ca Pa à Las, + Ca Ge] + Co C1 Co Ca Ca Ces Pa, à Cas, x + Ce G8,x] 5
L'identité des expressions (8) et (9) est évidente, Il est clair qu’on aura de la même façon
Ai,k+1 = Br, donc
ÀAi+18 = Aik+1; d’où l’on conclut que généralement Ai,k = À,,s
sous la condition i + k=—7r+s.
On voit par là qu’il existe une série de quantités
5 ; di, da; ds; Pets
telles que l’on a identiquement
1x2 »2 ditx Xi Xk, B=Y +2 di+k+1 Xi Xx.
RÉDUCTION EN FRACTION CONTINUE. 189 De plus, si l’on remarque que, d’après notre algorithme, on a di = Bii =],
on conclut directement les valeurs des déterminants
| do A -.. On—-1 VA A ... An = Co X Co Ci Co X Co C1 Co Ca Ca XX... X CpC Co. Com — 29 PR. An +: Ain—2 M .. An Éd de = cp 6, X Gp 4 6 6 X +» X Gp & Ge + na | An Gnt1 -.: Gn-1 |
et les formules que nous avons rappelées dans le n° 2 montrent alors que, en réduisant en fraction continue la série
Le théorème énoncé est ainsi démontré.
5. On voit, par ce qui précède, que l’on pourra écrire immédiatement la fraction continue F, dès que l’on aura obtenu les décompositions en carrés des formes quadratiques
0 (+) C2] @ > ditx Xi Xx, 2 di+x+1 Xi Xk.
Nous ajoutons que, en connaissant seulement la décomposition en
carrés de Le] (ee)
à dit Xi Xx,
on pourra écrire immédiatement la fraction continue F’. En effet, dans cette fraction continue figurent seulement les quantités
Cor C1Cos Colas C5 Ces et Cr Cor Ca + C5)
Les premières sont connues immédiatement. Quant aux autres, il suffit d'observer que
ia tete dans, pour en conclure
C; — d,1;, Co + C3 = 1,2 — 0,1, Cy + C5 = 02,3 — 2, du # LI LR Sous une forme légèrement modifiée, nous pouvons dire:
IT. Si l’on a identiquement
> Sn. Xi Xkx—=6e[X, +a X, +a Xs+...F 0 0 + 8 [X, + PB Xo +... F + &[X + 73 X3 +...P
EC $ on a en même temps Go A | do A NE €) | x ÊT me €1 : €
RL DE Fe de
6. Nous allons donner maintenant quelques applications de ces théorèmes. Considérons pour cela le développement
On trouve facilement d—=1l, a—=k, a—=2k+38k, a= 16 k —+ 80 k° + 15 k,
Généralement a, est un polynôme du degré n en #4; mais la loi de ces polynômes est très compliquée. Nous allons voir que la réduction en
fraction continue de
Go __ 1 9.
ga + a conduit à des expressions très simples pour les c,. Soit f(x) = (séc x}'; en calculant les dérivées successives f’, f", ..., on obtient
f! = k(séc x} tang x, f" = (séc x) [4 + (4 + #°) tang” x],
Posons, pour abréger, tang? x — 2; on voit facilement que l’on aura généralement FM —(sécx)* pm, fêm+D — (séc x)f tang x yn,
Pm Et Ym Étant des polynômes du degré m en z. En prenant les dérivées, on trouve les relations
Ym = 2(1+2)pn+k pm, Pm+i= 22 (1 + 2) pu + [1 + (1 +) 2] pm
Nous désignons ici par pm, yn les dérivées de y, et de y» par rapport à z. Ces relations permettent de calculer de proche en proche les polynômes y et y, et si nous posons maintenant
Em = am, 0 + k(k + 1) ami 2 + k(k + 1)(4 + 2)(k + 3)am222 + ..., Pm = À Bm, 0 + k(K + 1)(k +2) Br, 12 +k(k+1)(k + 2)(4 + 8)(4 +4) Bm,22° +...
il en résulte les relations suivantes
Pm, 0 = Am, 0 + 2(k+1l)an:;, Bm,1 = am,1 + 4 (% + 38) am, Bm,2 = 4m, 2 + 6 (k + 5) am,s,
et
Am +1,0 — k Bm, 0
Am +1,1 — Bm, 0 + 3 (% + 2) Bm,1 ;
Om +1,2 — Bm, 1 + 6) (4 + 4) Pm, 2 y
A de k
Am +1, = Pm,i—1 + (25 + 1)(k + 2 à) Bi.
En comparant ces relations avec l'algorithme que nous avons exposé
dans le n° 3, on reconnaît que les quantités a;,x, Bi x sont exactement celles qu’on aurait obtenues là en partant des valeurs
a=1.4, o=2(0R+1),, =3(4+2), ..., a=n(t+tn—1), et l’on en conclut, sans la moindre difficulté, PE E. PI p x PR 1.k4 “ 14 2@+D) mere HSE gs a
En remarquant que
