a 2 de 4 pe) 20 pt nat

et que, par conséquent, l'intégrale

co 2 k NC CR

donne ce développement (divergent)

Go __ A y ds.

x 2 + ee + :

on obtient enfin ce résultat co 9 k is He . 1 üo RL dr Mate s “ei 2(k—+ 1) 24 342)

Nous nous bornerons ici à considérer la transformation de la série en fraction continue au point de vue purement formel. Dans une autre

occasion, nous ferons voir que la fraction continue que nous venons d'obtenir est convergente et représente effectivement l’intégrale si l’on suppose x >0,k> 0.

Notons, en passant, le cas particulier k——n, n étant un nombre entier positif. La formule (10) se réduit alors à cette identité algébrique

(u)o (n), (n)o On 2 Int rin States: it 1.n Et 2(n— 1) T—.. n.1

F 7. Nous allons donner maintenant une application du théorème II. Considérons pour cela la fonction f—=sinamx, le module étant 4 comme d'ordinaire. En calculant les dérivées successives, on voit qu'on a f —=sinamzx{a,], | f" —=sin am x[a, + b, 2], [= sin am x [as + b, 2 + © 2°], 1% — sin am x [as + b4 2 + ca 2° + ds 25],

où nous avons posé, pour abréger, 2— k sin? am x. Il est clair ensuite que

L ea An 22+1 ei dr

et, d’après la série de Taylor, on a

4 Ein am (œ + 9) + sin am (ce — pJ= ff" + po

c'est-à-dire, d’après les formules (11), (12) . . . . 4{[sinam(x + y +sinam(x—7)]

= sin arm 2 [ao + @ 7 +@ + $ y? y

+esinamalo tarte

+2 sin am | ne D. |

D'autre part, on a, d’après les formules d’addition,

4 [sin am (x + y) + sin am (x — )] ___ Sin am % COS am y A am y 7 1 — 2 sin? am x sin? amy

— sin am x Cos am y Aam y|1 + kzsin?am y + k?2?sint am y +...|.

La composition avec (12) fait voir que sas ÿ y COSaMyAAMY—= TT ST S Sat.)

y k sin* am y cos am y A am y — b, D L pogobdfiolis quel,

k° sin‘ am y cos am y À am y — 21 9 1 d’où l’on conclut, par intégration, : y ÿ SAMY YU TS STE S.1.8 1) LATE ÿ ÿ° (95 2. bros larg ssst 6 de y — Sin? am y 15.34 BF...

0 0 ef eff gi da mu me md de ne

Si l’on se rappelle que z — k sin? am x, on voit que le second membre de la formule (12) peut s’écrire

[ Lu. sy | l p UD «it Mr Har gs ter s ss te |X{07/+mr ste sus t..

À y y +8 sors + Jx bris +ars ht à FE 0) +5 Par 1x DRE.

tandis que le premier membre est

1 a nn 2 pi a

(2 n + 1) [(œ + | : dti + (x FA | ) pes

La comparaison de ces deux expressions donne cette relation remarquable

Gita = dir + 3 bibx + 5 Cicx +...

ou, ce qui revient au même,

D D air XiXx = [0 Xo +4 Xi +@X2+...F ns + 3800 Xi + be Xe + ...F + 5 [co Xe + ...P

2 Le] Ayant ainsi obtenu la décomposition en carrés de S° D a;+:XiXx, 0 0

on peut écrire immédiatement la réduction en fraction continue de la à a série LL 2 +... Il suffit pour cela de calculer 46, 41; bi, Ds; co, Ca, .….,

ce qui n’a aucune difficulté, à l’aide des formules (13). En modifiant légèrement le résultat ainsi obtenu, nous trouvons que, si l’on écrit | a æ SiNaML—=@T— 4) 9 31%) 9345. A

la série (divergente)

11%, x? ÊT mt.

qui provient de l'intégrale | e*?sginamzdz,

donne la fraction continue (convergente)

2 972 D TR à 3.4°.5k?

4 +8 + 32 l 3 ge SOC DAT EE ME LRU: ë R 2 912 BEBE — HA ti + Ti.

en posant, pour abréger, 1 + 4? — |.