SUR UNE FONCTION EXPONENTIELLE

la fonction & (2) étant déterminée ainsi

P(z2)=Ne ELNebENse +... +Nie!, 0Cs<s;

® (2) — Net N;e +...+ Nue, a<z<d; ® (2) = Nse+...+Nue!, bLs< 0e:

® (2) = Nue, gLs<Rh

Cette fonction & (2), constante par intervalles, n’est pas identiquement nulle, puisqu'elle ne l’est pas dans le premier et dans le dernier des intervalles. Du reste, elle ne s’annule même pas dans aucun des intervalles, puisqu'on peut supposer irréductible l'équation à laquelle satisfait le nombre e.

® (2) ne peut changer de signe que pour

#0, #0, Ve s'y.

Voici maintenant la détermination de k,, ko, ..., kn Je prends 1 change ;

ee | LE nn = Lo selon que ® (2) À ne ne de signe pour 2=4,

ve change | : ee ke =); selon que d (2) 1 RER de signe pour z2=b,

change |

kn-1= Ll selon que # (2) | de signe pour z2=3g,

|ne change pas |

En —— 0.

Je dis alors que l’équation (3) est impossible dès qu’on prend pour un nombre pair. En effet, il est clair que, dans l'intégrale

lower... h}]4 (2 — a) (z — db) ...(2— gYr-1d2,

la fonction sous le signe | a un signe constant dans tout l'intervalle (0, k).

(Paris, C.-R. Acad. Sci., 110, 1890, 1026— 1027).

Sur la valeur asymptotique des polynômes de Legendre.

(Note, présentée par M. Hermite.)

M. Darboux à donné, dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées (3° série, t. IV, p. 39; 1878), une formule qui permet d’obtenir une expression approchée de X, (cos 0), l'erreur commise étant

. : 1 de l’ordre d’une puissance aussi grande qu’on le voudra de PÉ

Nous avons obtenu le résultat suivant. Soient

0<O0<=s, CE — — ne 2.4.6...(2n) Ts Bi6:t) NE alors on a x, 8) =c cos (n © + ; a) VAE cos (n 9 + ; a) Srape, V2 sin 6 2.(2n+3) V/(2 sin O$ n 1.8.1. cos (n © + ÿ a) 2.4.(2n+3)(2n+5) V/(2sin O0} USE 6e cos (n © + Ta)

F316.Gn+3)6n+5Gnt) Vesroÿ

La loi est évidente, et la série est convergente et représente X, (cos @) tant que l’on a 2 sin @ > 1, c’est-à-dire

LA 5x Pe »