EE

V2 sin © V2 sin © On a donc —— jen9+#a)i EMI = — V2 sin O6 et de même — —ie-n09+#a)i En = ; V2 sin ©

k et k, étant des quantités imaginaires conjuguées, ainsi que £ et £—1. La formule (5) prend donc cette forme

nO i fl(l—uy ©] + Li ‘à.

[dés ec norts (ESS u)" du

aV2sin 0) Vu a aVasin@ | Vu —kv

ou, plus simplement, 2 . .fi(—u) du 6) Pr(cos 9) = ——— tie réelle de em@+4#a)i ———— ee Tr Qi LT

eia 1 ; < 8. Le module de 4 — 9 sin étant 3sno © module sera inférieur

à l'unité tant que l’on a 7 5z

Dans cette hypothèse, on pourra développer en série convergente le radical

1 Lis D = PNR ETS Va ns TR ta

et l’on obtient ainsi cos (n O + £a) 12 cos (n © + 3 a) V2 sin O 2(2n+3) V{2sin0}ÿ 12.82 Se (a SES 9) 4 2.4(2n+3)(2n+5) V{2sin Op L ne. co (28 Fa) à 2.4.6@n+3)@n+oentn Vesmeÿ ‘| 4° 2.4.6.) n 8,6.7...(2n +1)

(7) P'(cos 9) —C,

développement convergent même pour @ = : ou 6'— “

Mais on peut procéder autrement et obtenir le même développement, mais limité à un nombre fini de termes avec un terme complémentaire, et cela pour une valeur quelconque de @ comprise entre 0 et z.

Il suffit, pour cela, de remplacer, dans la formule (6/),

1 dv

Vi—ka À n] 1—kusino

et de faire usage ensuite, dans l'intégrale double obtenue, de l’identité

1 4 s (4 u sin° v)?

en 2 : F 4 p—1 : 1— ku sin?v Rae 0 à mate) 1— ku sin? v

On retrouve ainsi le développement (7), mais limité à ses p premiers termes et avec le terme complémentaire

2 em@+3 a) i (1-u)}'ur—3APsin??ov re Te X partie réelle de ———— Fp £ - a kusno dudv.

(8) Ry=

du dv,