dr > u?— }gin?? v
pi< aV/(2 sin 0)#17 7 1 — ku sin? v
et, en désignant par M le maximum du module de
RS 1 — ku sin? v
on aura, à plus forte raison,
Die or + fo —uÿ'u?— À sin?? v du dv 7° V2 sin 6)? +1 J :
12.82.52...(2p— 1) 1 2.4.6...Cp@n+3)@n+5)….(@n+2p+1* V@sinO)?r +1
(9) | Rp < MCA
Ainsi, en prenant la somme des p premiers termes du développement (7), l'erreur commise est inférieure en valeur absolue, à M fois le terme suivant dans lequel on aurait remplacé d'abord par l'unité le cosinus qui y figure au numérateur.
Quant à la valeur de M, puisque 4 — 1 (1 —i cot 6), on a
1—kusin’o|= ]/cos 0 + 2 sin? @ — u sin‘ v};
sir 6!
d’où l’on conclut
l'E oi sc lunot |cos
M — 2sin 9 lorsque sin? 0 2 4.
lorsque sin Q<4,
Ainsi ce facteur numérique M ne varie qu'entre 1 et 2.
4. Le résultat que nous venons d'obtenir conduit à plusieurs conséquences qu’il est bon de noter. En premier lieu, le raisonnement donne, dans le cas le plus simple p=0,
MC, OO HE 1€ 3 sin ©
Or on sait que
e tendant vers zéro avec = Nous pouvons donc conclure que, lorsque @ a une valeur fixe comprise entre 0 et x, on a toujours, pour n—%, lim P* (cos 9) — 0.
Et il est clair que cette relation subsiste encore, même lorsque @ ten-
: | DS Le drait vers zéro avec PRE seulement n © croît au delà de toute limite.
C’est là un résultat important obtenu d’abord d’une façon toute différente par M. Bruns dans le Tome 90 du Journal de Borchardt. On sait, d’autre part, que
of Fam bi
| 8\ nn , ©, 6:
lim Pr (cos) =3(8)=1— 5 +5 —
En remplaçant © par = dans la formule (7) et posant n — «, on ob-
tient donc
6 2} ROUE ei?) ss 1 aan : RE me 4
an) 1(9= À c’est le résultat dû à Poisson (Journal de l’École Polytechnique, XIX:® Cahier); mais nous pouvons ajouter maintenant qu’en prenant la somme des p premiers termes, l’erreur commise est inférieure en valeur absolue au terme suivant dans lequel on aurait remplacé par l'unité le cosinus qui y figure au numérateur. En effet, il est clair que le facteur numérique M est ici égal à l’unité,.
5. En second lieu, nous pouvons maintenant séparer les racines de l'équation P"(cos 9) — 0. En effet, prenons p —1 et remplaçons, pour simplifier, M par sa limite supérieure, on aura
pl 2 (2n + 3) sin O]
(19) « « . Pticos = [eos (n © + 3 a)+
bei Li
Posons
ka .
2n +1’ (Ras, 9,446)
2k— 1 la valeur correspondante de nO + %a est, 7: donc
cos (n © +4 a) = (— 1) ©
D'autre part, la plus petite valeur de 2(2n + 3) sin @ pour les valeurs de @ que nous considérons est
2(2n + 3)sin ——— > 2(2n+1)sin
2n Fa 2n RTS
Or l'expression 2(2n +1) sin Ten croît avec #, et, pour la plus
petite valeur den, n—1, elle est —=3 V8 > V2. On voit donc que | she (cos —" ma 5)
a le signe de (—1) ? ; d’où l’on conclut qu’en désignant par
>>... > Tn
les racines de P'{x)—0, on a
F (@k—1)x 2kn reste > cs)
C’est une limitation obtenue par M. Bruns dans le Mémoire déjà
cos |
cité; on pourrait trouver facilement des intervalles plus étroits pour ces racines, mais nous n'insisterons pas.
Si l'on s’en tenait au premier terme du développement de P* (cos 6), — l)z ‘ on aurait cos fe comme valeur approchée de 4. On obtient une
approximation bien plus grande par l’expression
1 — sn COS —
(44k—1)x An+2
obtenue en tenant compte aussi du terme suivant:
n—9. Val. approchée. Correction. n—=10. Val, approchée. Correction. æ.... 0968058 + 0,000 102 az... 0978823 — 0,000 084 xt... 0836007 + 0,000 024 m.... 0,865044 + 0,000 019 z,.... 0,618862 — 0,000 009 æ.... 0,679402 —- 0,000 008 x... 0,324250 + 0,000 003 æ,.... 0,438392 — 0,000 008
6. En ayant égard à la formule (5), on reconnaît facilement que la formule (7) peut s’écrire ainsi
P* (cos 9) — partie réelle de ; En+iVi—KkS(4,4,n + 8,k),
le symbole # désignant la série hypergéométrique.
Orona
VIS Gint = (hntints, ts);
donc
P*(cos @) — partie réelle de ©" ue. S(4,n+1,n<+ 3,6), c’est-à-dire
Zl(n+1) (13) . . P"(cos 6) — Cu sin M+D6+ ets 1.3nmn+1l)n+2) .
FL2unts TES one AR |
C’est là le développement de P* (cos 9) en série de sinus par la formule de Fourier, obtenu par M. Heine (Traité des fonctions sphériques, t. I, p. 19, 89). La série cesse évidemment de représenter la fonction pour @=0 et 6 —7x, mais elle la représente pour toutes les valeurs de 6 entre ces limites.
Cette déduction de la formule (13) ne saurait être considérée comme entièrement satisfaisante sans de nouveaux éclaircissements, d’abord parce que la série (7) n’est pas convergente dans tout l'intervalle (0, ) et ensuite parce qu’on a considéré la série hypergéométrique sur le
sin (n + 3) O6 +
contour même du cercle de convergence. Mais nous n'insistons pas, ayant voulu simplement indiquer ce rapprochement entre les deux formules.
SUR LES POLYNÔMES DE LEGENDRE. 245 7. Le polynôme P*(x) satisfait à l'équation différentielle linéaire Mu se 2) SPRL + nn +l)y—=0, dont une seconde solution est donnée Le l'expression
Q* (x) = Pr for ÈS: Pr
En effectuant la décomposition en fractions simples, on a
1 1 (1— 2?) Pr(x} 2(x+1) ED ET a. di
(x — so
car les fractions simples de la forme +. doivent disparaître, l'équa-
tion différentielle n’admettant que les points singuliers + 1. Il vient, par conséquent,
SU = 4 P* (a) log (PT et R" (a),
R'(x) étant un polynôme du degré n — 1.
Il est clair qu’on peut développer Q" (x) en série suivant les puissances descendantes de x, mais une telle série satisfaisant à l'équation différentielle (14) doit commencer par un terme en x" ou en x-"-1, On voit par là que R*(x) est la partie entière de
gr ço) log(E ES) = prof +++)
et que, dans ce produit, les termes en x-—1,x-°?,...,xæ—" manquent.
La fonction Q"(x) n’est pas réelle dans l'intervalle (— 1, +1), et, comme nous voulons envisager particulièrement les intégrales de l'équation différentielle dans cet intervalle, nous sommes amené à considérer, au lieu de Q*(x), cette autre solution de (14)
DR ro ib S" (2) = 4 Pr (a log (TT 2) — Ra (x).
8. L'expression explicite du polynôme R'"(x) est assez compliquée et difficile à obtenir. Dans le Tome 55 du Journal de Borchardt, M. Christoffel a obtenu cette formule
2n — ES
n = prn— n —3 8 n—5 R" (x) = lp + SP a+ ER T SP (x) +.
et M. Hermite a donné, il y a plusieurs années, dans son Cours à la Sorbonne, cette expression
Rn(= D P#-1 (2) Pn—k(s),
qui peut se déduire aussi du Mémoire de M. Christoffel, Mais c'est une autre formule qui va nous permettre d'obtenir la
limite de S” (cos — pour n =. Rappelons, pour cela, la formule
connue
rs 14) AT RG De PH
que nous écrirons ainsi
O7). .Pr(=ata (ts) +a(e) +...+a (2 alors on a U8) . (= + A5) +457) + +m (ET > Bb =(i+5+54..+2)e, n = (troie nain bai on.
On obtient cette formule à l’aide de l'équation différentielle à laquelle satisfait R’ (x)
QE 20 TO + nu + DR" çD=2 PQ.
Les formules (16), (17), (18) donnent maintenant 5 (cos = = — Pr{cos #) log(n tang 5) — (1 +3 +... + : — log ») ay + ++. +2 — log n) a, int — —(5+ rs + — log n) as sint +
re 0 RES d’où l’on conclut, pour n—«, ser Vi: 2 e (19) limS (cos — — J (6) log (5) —C+(C—1) .— El © 1 (Cox A sm C—0,577. ... étant la constante eulérienne.
Nous désignerons cette fonction par K(9), c’est là une solution de l'équation différentielle de Fourier et de Bessel
dont l'intégrale générale est y —=C;J(9) + CK(9).
9. Nous allons vérifier maintenant à l’aide de la formule (1) que P'(x) satisfait bien à l’équation différentielle (14). Soit
V — 2" d2 V2 9xz+1 le chemin d’intégration étant quelconque.
Par un calcul facile on obtient
qi ET em nn + )v=f0 a, nus le (Gn + l)22+(n+1)*] V(i— 222 +2)
On obtient donc une solution de (14) en prenant l'intégrale V sur un contour fermé enveloppant les points £ et £—1, de manière que le radical revienne à sa valeur initiale. C’est la solution P*(x) qu'on ob-
tient ici; mais il est clair maintenant qu’on a encore une solution en prenant l'intégrale sur un lacet partant de l’origine et enveloppant l’un ou l’autre des points critiques. Par conséquent, les intégrales € et 8 considérées dans le n° 1 satisfont séparément à l'équation différentielle, et l’on pourra les exprimer linéairement à l'aide de P"{x) et de S"(x). C’est ce que nous nous proposons de faire maintenant. ;
10. Considérons d’abord l'intégrale V prise en sens direct sur un cercle décrit autour de l'origine comme centre avec un rayon très grand, et posons
(20) . . . . . . .Vé—3ustTi=-s4u ou
RUE. here
Pour 2=E£, on a u—E£#, et pour 2=£-1,u—#-1, il est facile alors à voir qu'on peut écrire la relation entre z et w ainsi
oh Use = (S) -
Il vient
[ 2" dz =/ (u? — 1}: dt JV2—2%xz+1] 2 MS Quant au chemin d'intégration de l'intégrale transformée, puisque |! est très grand, on a, d’après (20), à fort peu près, U—=22—X,
en sorte que w décrit autour du point —x comme centre, et dans le sens direct, un cercle de rayon double de celui décrit par 2.
Puisque la fonction intégrée n’a qu’un pôle u=x, on peut en conclure immédiatement la formule de Rodrigues “a 1 a Cane. à 2
BTS TS OR dx” Par un changement continu, on peut transformer le cercle décrit par la variable z dans le contour abcdefa considéré dans le n° 1. Quel sera le contour correspondant de la variable u? Il est clair qu’on
CD den +, AU
pourra supposer qu’en se transformant le contour décrit par z ne présente jamais un point double. Il en sera de même alors pour le contour décrit par w. En effet, z est une fonction uniforme de , et un contour fermé décrit par « correspond toujours à un contour fermé décrit par z.
Ainsi, si le chemin de w avait un point double, il en serait de même du chemin décrit par 2 contre notre hypothèse. Ensuite, en a, z est très petit ou nul, et le radical égal à + 1, donc u = + 1; de même on verra qu’en d uw est égal à — 1. Puisque z reste fini et ne passe point par les points £ et £-1, il s'ensuit que « reste toujours à une distance finie de x et des points & et £—1.
On conclut de tout ce qui précède que le chemin de x, correspondant au contour abcdefa, est un contour fermé qui part de + 1, passe par — 1 et revient à + 1 après avoir enveloppé en sens direct les points æ, £ et £—1,
Mais il est clair que la seule chose essentielle à savoir, c’est que ce chemin enveloppe en sens direct le point x qui est le seul pôle, les points £ et £—! ne jouant aucun rôle dans l'intégrale relative à u.
Il est clair maintenant aussi que l'intégrale € se présente sous cette
forme nouvelle.
5 SA AS a=fg du
de u—= +1 à u——1, mais tous les chemins de +1 à —1 ne conduisent pas à la même valeur de l’intégrale, et tout ce que nous avons dit jusqu'à présent ne suffit pas pour déterminer avec précision le chemin d'intégration qu’il faut adopter dans cette formule (22). En effet, nous n'avons point fait intervenir encore la circonstance que le point & est au-dessus de l’axe réel, ce qui permet de distinguer les intégrales € et &.
Considérons la droite D dont tous les points sont également éloignés de £& et de £-!, droite qui passe évidemment par le point x — —
[ est clair par la relation (20’) que les points correspondants 2 et w sont toujours du même côté de D. Les trois points 0, + 1 sont donc du même côté de D. Deux cas sont à distinguer maintenant:
1° Le point £ se trouve du même côté de D que les points + 1.
Dans ce cas, on peut évidemment supposer que le contour abcd ne coupe pas la droite D. Il en sera donc de même du chemin correspondant de w allant de + 1 à —-1. Mais ce chemin peut être tracé maintenant arbitrairement, à la seule condition de ne pas traverser D; car, x Étant sur D, on obtiendra toujours la même valeur de l'intégrale (22).
2 Le point £ se trouve par rapport à D du côté opposé des points + 1. Dans ce cas, le point £-1 se trouve du même côté que les points + 1,et l'on conclut, maintenant comme tout à l’heure. que le chemin defa de z correspond à un chemin quelconque de « allant de — 1 à + 1 et ne coupant pas la droite D. Cela étant, on peut tracer aussi sans ambiguïté le chemin de # qu’on doit adopter dans l’intégrale 4, car on sait que le contour entier abcdefa de z doit correspondre à un contour fermé passant par les points + 1 et qui enveloppe en sens direct le point x.
