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Écrivons les nombres a, b,c,..., ! l’un au-dessous de l’autre. Écrivons ensuite le facteur pl! à côté d’un des nombres a, b,c,...,l1qu'il divise (un au moins de ces nombres est divisible par pf). Faisons de même pour p;...p,t. Alors on prendra pour a’ le produit des nombres

qu'on aura écrits à côté de a (a = 1 lorsque aucun nombre ne se trouverait à côté de a), de même pour b/, c!,...,//.

Il est clair qu’on obtiendra toujours au moins une solution; elle est unique dans le cas où, parmi les nombres a, b,...,1,1l n’y en a qu'un seul divisible, soit par ph, soit par pk, etc. Dans le cas contraire, le problème admet toujours plusieurs solutions.

19. On peut toujours obtenir une solution, sans décomposer les nombres a, b,c,...,1len facteurs premiers et uniquement à l’aide de l'algorithme d’Euclide.

Mais, pour abréger, nous nous bornerons au cas de deux nombres aetb,d'oùdilest facile, du reste, de remonter au cas général. Soit (a, b)—= d, et calculons

CCE

: x a b a’ et b’ seront premiers entre eux, puisque 4 et PT le sont ; d sera donc

divisible par leur produit, soit

d=ab'd' et puis Bee (Loan d' — a'! b'! F; (£, a") = L: (2, a”) —— gif d'! — a//! b'"’ 4",

En continuant ainsi, on finira toujours par arriver à un couple ak+)—1, bE+D—1, car d = a’ b! d' —— a’ a/! b' b'! d'! 2 a’ a/! a!’ b' b'! b'!' d''! =... On aura alors d={(a!a"...a®) X (b'b'...b®) x 4®

et, pour le p. p. c. m.,

m=(% x aan) x (x vo. ve) x am

a b à dus ST.

Les nombres à et F3 sont premiers entre eux, et, a’, a/',...a%) étant

des diviseurs de b', b”,...b® des diviseurs de 4 il est clair que les

deux facteurs

+ X a'a”...a® et D XD D"...00

sont premiers entre eux. Ensuite d® est premier avec chacun de ces facteurs, car

($, do) = aw+0=1, a. a) = bu+0 = 1.

En prenant donc

A=—Xaa'...a®

L 2 X b'b...b% x d®, on aura m—AB, A et B seront premiers entre eux, puis A divise a et B divise b. Plus généralement, si l’on a d® — pq, p et g étant premiers entre eux, on pourra prendre

AT Xa'a”...a® Xp,

Si l’on suppose a et b décomposés en facteurs premiers, on verra facilement que

TX ga"... a

est le produit des puissances de nombres premiers qui figurent dans la décomposition de & avec des exposants plus grands que dans la décomposition de b, tandis que d® est le produit des puissances de nombres premiers qui figurent avec le même exposant dans les décompo-

sitions de a et de b. Lorsqu'on a d® © 1, on obtient toujours deux solutions au moins, en prenant soit p = 1, g = d®, soit p — d®, g = 1. Mais, dans ce cas, il peut arriver que le problème admet encore d’autres solutions, et cela a lieu lorsque d® est divisible par plus d’un nombre premier. Mais, pour obtenir ces solutions, il faut absolument recourir à la décomposition de 4% en facteurs premiers: l’algorithnme d'Euclide seul ne peut pas les faire connaître.

20. En jetant maintenant un coup d'œil sur le chemin que nous avons parcouru, on reconnaîtra que la théorie de la divisibilité des nombres repose sur ce fait, qu'étant données deux nombres a et b, on peut toujours déterminer un nombre m, tel que

a—=mb+c, où 0O<c<b.

Si l’on considère les nombres complexes a + bi(i—V—1), on peut établir une relation analogue, et de là découle, pour ces nombres, une théorie de la divisibilité parfaitement analogue à celle des nombres ordinaires. Nous aurons à revenir plus tard sur cette question et d’autres de la même nature.

Les propositions les plus essentielles sur la divisibilité des nombres se trouvent déjà dans les Éléments d’Euclide; notamment on y trouve: l'algorithme pour la recherche du plus grand commun diviseur, la proposition qu'un produit ne peut être divisible par un nombre premier, à moins qu'un des facteurs ne le soit, la proposition qu’il y a un nombre infini de nombres premiers.