CAE PARC PONEY RER ER

ad: LL

Pour que plusieurs nombres a, b, c,...,l soient premiers entre eux, il ne suffit pas que leur p. 9. c. d. soit égal à l'unité, il faut que le p. g. c. d. D, , des produits doit ac. hf "ab.

soit égal à l’unité. (Voir le théorème III et la fin du n° 10.) Lemme. — Le p. #. c. d. des nombres m, a, b étant l'unité, on a (m, ab) —=(m, a) X (m, b).

En effet, d’après le lemme du n° 6, (m,a) X(m,b)—={(m", ma, mb, ab), or (m°, ma, mb)=m X (m,a,b)—=m d'après l’hypothèse.

Plus particulièrement, on aura (m,ab)—=(m, a) X (m, b) lorsque a et b sont premiers entre eux. Ce résultat peut se généraliser immédiatement ainsi.

Théorème V. — Les nombres a, b, c, ..., L étant premiers entre eux, on a (m,abe, Din, a) xX{(m, b) xX (m, oc) X ... x (m, D). Remarque. — Ce résultat est compris aussi comme cas particulier

dans les propositions obtenues dans le n° 11. En effet, le nie nombre réduit de (ah, 08,0), (mc), :..,,(m, 1), c'est-à-dire leur p. p c. m. est égal à Os) 25 ms Le, à, cos d |) En supposant a, b,c,...,l premiers entre eux, on retrouve le théorème ci-dessus. On peut en tirer la conséquence que voici. Les nombres a,b,c,...,l étant premiers entre eux, un diviseur à de leur produit peut être toujours mis d’une seule façon sous la forme sat" Ti où a’ divise a, b’ divise b,...,/ divise Z. En effet, si cette décomposition en facteurs est possible, a’ doit diviser a et 5, et par conséquent (a, à).

Mais, d’après le théorème V, on a 0=(a;0) X(0,0)X 1. X 00):

d'où il est clair que la décomposition est possible, et d’une seule manière.

D'autre part, on obtient toujours un diviseur de abc...l,en multipliant un diviseur quelconque a/ de a par un diviseur db’ de b, etc. | On peut donc conclure:

Théorème VI. — Les nombres a, b, c,..., L étant premiers entre eux, on obtient tous les diviseurs de leur produit abc...1, et chaque diviseur une seule fois, en multipliant chaque diviseur de a par chaque diviseur de b,..., par chaque diviseur de 7.

Corollaire. — En désignant par f(m) le nombre des diviseurs de m (ou la somme de ces diviseurs, ou la somme de leurs kièms puissances), on a

f(abc...D=f(a) X f(b) X f(D X...xX "(0

lorsque a,b,c,...,lsont premiers entre eux.

15. Tout nombre a (excepté l'unité) a au moins les deux diviseurs a et 1. Tout nombre qui n’admet pas d’autres diviseurs s’appelle nombre premier. Nous ne compterons pas Funité parmi les nombres premiers: les plus petits nombres premiers sont

2 3,709, HD 0 I Tout nombre qui n’est pas premier est dit composé. Un nombre composé a est toujours égal à un produit bc dont les facteurs sont > 1 tous les deux.

Soient p un nombre premier, & un nombre quelconque; si p ne divise pas a, a et p seront premiers entre eux.

Lorsqu'un nombre premier p divise le produit abc...1, p doit diviser au moins un des facteurs a, b, c,...,l; car, dans le cas contraire, p serait premier avec a, avec b,...,avec /, par conséquent premier avec abc...let ne pourrait diviser ce produit.

Théorème VII. — Tout nombre composé admet un diviseur premier.

En effet, il est clair que le plus petit diviseur, surpassant l'unité, d’un nombre composé, est nécessairement un nombre premier.

Théorème VIII. — Tout nombre composé est égal à un produit de facteurs premiers ou, comme on dit, il est décomposable en facteurs premiers. Cette décomposition ne peut se faire que d’une seule manière.

En effet, mettons le nombre composé a sous la forme d’un produit bc...l

de facteurs > 1, de toutes les manières possibles. Le nombre de ces facteurs sera toujous inférieur à n, en supposant 2” >> a. Parmi ces produits égaux à a, il y en aura donc un, au moins, dans lequel le nombre des facteurs est le plus grand. Soit

Pi Do : + + PK

un tel produit, il est clair que tous les facteurs sont des nombres premiers; car, si par exemple p, était composé, on pourrait obtenir un produit égal à a et renfermant 4 + 1 facteurs.

Remarque. — Il est clair qu’on obtient toujours par un nombre fini d'essais les divers produits égaux à a que nous considérons. Il suffit d'écrire les nombres

de prendre leurs divers produits un à un, deux à deux, ..., n—1 à n — 1 (avec répétitions) et de ne conserver que ceux de ces produits qui sont égaux à a.

La première partie du théorème se trouve ainsi démontrée; quant à la seconde partie, supposons deux décompositions en facteurs premiers G = Pia Ds - + - = Las +.

Il est clair que 9, doit diviser le produit p, p, p,;..., et, par conséquent, un des nombres p.,, 2, P:,...: donc Q, est égal à un de ces nombres, par conséquent p, = q1.

On en conclut Pa Ps. —G23v.., d'où Po — Go)

Le théorème étant ainsi complètement démontré, on voit qu'on

peut mettre un nombre quelconque, et cela d’une seule manière, sous la forme FER p° qhr? :

P,4,7,... étant des nombres premiers distincts, a, B, y,... des nombres quelconques.

On peut déduire ce théorème aussi du théorème VII.

16. Pour que deux nombres soient divisibles l’un par l’autre, il faut et il suffit qu’en ayant décomposé les deux nombres en facteurs premiers le diviseur n’ait pas d’autres facteurs premiers que le dividende, et que ces facteurs ne figurent pas dans le diviseur avec de plus grands exposants que dans le dividende. Cela est évident d’après ce qui précède.

A l’aide de ce résultat, on peut reconnaître immédiatement la vérité de tous les théorèmes que nous avons obtenus sur le p. p. c. m., le p. g. c. d., en supposant tous les nombres décomposés en facteurs premiers. Nous n'insisterons pas sur ce sujet, cependant on doit remarquer que ce n’est là, à proprement parler, qu’une espèce de vérification; cela devient sensible surtout lorsqu'il s’agit de propositions plus compliquées, comme celles du n° 11 sur les nombres réduits. Mais nous devons expliquer encore comment on obtient immédiatement les nombres réduits de a, b,c,...,1, lorsqu'on a décomposé ces nombres en facteurs premiers.

Supposons donc

a—p{ips?. ; .DEt, b—= ph pl ds .ple,

C = p?1 pr. / .DŸe,

Pour plus de symétrie, nous avons introduit partout les mêmes nombres premiers p,, D,...,Dx, Ce qui peut se faire en admettant pour les exposants aussi la valeur 0. |

Considérons les exposants de p;

Qis Pis Vis -.., di

Supposons qu’en les écrivant par ordre de grandeur croissante on ait

di SbiZci<...<l.

Alors on aura —=PT DS... DE, F5 es b Cl = Di Po... Pit,

is C c E =PT DS ...pE,

C'est ce qu'on vérifie directement en remarquant, par exemple, que ere = Dr

est bien, avec ces valeurs de &,,e,,...,e,,le p. g. c. d. des produits # à k des nombres a,b,c,...,1. On vérifie encore sans peine les expressions des e; que nous avons obtenues dans le n° 12.

Les diviseurs de »" sont

DR ri,

leur nombre est a + 1, leur somme

pstl—1 p—1 Un nombre quelconque pa apr}...

admet donc (a +1) X (841) X (y +1)...

diviseurs, et leur somme est

a +1 B+1 y +1 p — 1 9 ER 1 RO res ho

Koss

17. Décomposer un nombre donné en facteurs premiers, c’est un problème dont la solution exige un grand nombre de tâtonnements. On a imaginé de nombreux artifices pour abréger le travail; mais, quoi qu’on fasse, cette décomposition est, en réalité, impraticable pour un nombre un peu grand. Aussi serait-il, par exemple, à peu près impossible d'obtenir de cette façon le p. g. c. d. de deux nombres

de douze à quinze chiffres ; l'algorithme d’Euclide conduit sans trop de peine au but,

On voit par là que ce n’est pas seulement en se plaçant au point de vue théorique qu'on peut exiger de ne pas faire intervenir la décomposition en nombres premiers dans des questions où ces nombres premiers ne figurent pas expressément.

Il y a une infinité de nombres premiers. En effet, p étant un nombre premier, on peut toujours trouver un nombre premier plus grand que p. Soit, pour le montrer,

PSIXSX..:X#0

le produit de tous les nombres premiers qui ne surpassent pas p. Mettons le nombre P d’une façon quelconque sous la forme d’un produit de deux facteurs P= AB,

alors il est clair que le nombre N — A + B n’est divisible ni par 2, ni par 8,..., ni par p. En décomposant donc N en facteurs premiers, on trouvera nécessairement des nombres premiers qui surpassent p.

Remarquons avec M. Cayley que, si l’on prend A=P,B=—1, les nombres N+1,N+2,...,N—+yp—1 sont tous composés; d’où l’on voit que la différence de deux nombres premiers consécutifs peut surpasser un nombre donné.

18. Voici une proposition dont on a besoin quelquefois. Il est toujours possible de mettre le p. p. c. m. des nombres a, b,c,...,1l sous la forme d’un produit

abc...

dont les facteurs sont premiers entre eux et divisent respectivement a,b,c,...,1. Adoptons les notations du n° 16, le p. p. c. m. est