Soient
a, ue
les y (a) nombres premiers avec a et ne surpassant pas à,
B;, B?, »e les æ (b) nombres premiers avec b et ne dépassant pas b,
Ys Vs Ÿ les (œb) nombres premiers avec ab et ne surpassant pas &b. Il est clair que tout nombre y est aussi premier avec a et avec b, et sera par conséquent congru avec un des nombres a suivant le module a, et congru avec un des nombres £ suivant le module b. Mais, si nous supposons maintenant a et b premiers entre eux, nous savons aussi qu’en prenant arbitrairement un des nombres a et un des nombres £, il y a toujours au-dessous de ab un nombre et un seul qui leur sera congru suivant les modules a et b, respectivement ; et ce nombre, étant premier avec a et avec b, sera premier avec ab et figurera donc parmi les nombres ?. Ensuite deux nombres y, y’ donnant toujours deux systèmes de résidus différents, on conclut ;
œ (ab) = y (a) y (b).
C’est la relation que nous avons déjà rencontrée (n° 6) et qui conduit immédiatement à la détermination de la fonction , car on voit facilement que
17. Considérons maintenant une congruence quelconque (1)... . + FO RR, et supposons | M=ABC...L,
les facteurs A, B,C,...,L étant premiers entre eux.
Il est clair que chaque racine de la congruence (1) satisfera aussi aux congruences (mod A),
@) f(x) =0 (mod B),
Donc, si une de ces dernières congruences n’admet pas de racines, il en est de même de la congruence (1).
Soient a une racine de f(x) =0 (mod A), 8 une racine de f(x) = (mod B), etc., enfin À une racine de f(x) =0 (mod L).
Alors on saura trouver toujours un nombre t, satisfaisant aux congruences
t=—= 1 (mod L), et ce nombre t est parfaitement déterminé aux multiples de M près. Mais il est clair qu'on aura f(=0 (mod A), ft)=0 (modB), ..., f(=0 (modL), donc aussi f(t) = 0 (mod M).
On conclut de là que le nombre des solutions de la congruence (1) est égal au produit des nombres des solutions des congruences (2).
On peut évidemment prendre, pour A, B,..:, L des puissances de nombres premiers.
18. On comprend bien, d’après ce qui précède, que dans la théorie des congruences de degré supérieur, on s’est surtout occupé des cas où le module est un nombre premier ou une puissance de nombre premier. On ne connaît presque aucun théorème général sur les congruences par rapport à un module composé.
Ici, où il s’agit seulement de donner les premiers éléments d’une théorie que nous devons développer plus tard, nous nous bornerons à considérer le cas d’un module premier. Lagrange a obtenu dans ce cas quelques propositions très simples, mais fondamentales.
Considérons donc la congruence
f(x) = 0 (mod p),
p étant un nombre premier. Le degré n de cette congruence est le degré de la plus haute puissance de x qui figure dans f(x), avec un coefficient non divisible par p. Du reste, il n’y aurait aucun inconvénient à supposer ce coefficient égal à 1, car, s'il est a, on pourra toujours multiplier la congruence par un nombre b tel que ab — 1 (mod p) La congruence obtenue est évidemment équivalente à la congruence proposée.
Soit maintenant x — a une racine de la congruence. En divisant f(x) par x — a, on aura
f(x) = (x — a) fi (à) + f(0),
f(x) étant un polynôme du degré n — 1 à coefficients entiers. La congruence donnée peut donc s’écrire
(x — a) f (x) + f(a)—( (mod p), ou bien, puisque par hypothèse (a) est divisible par p, (x — a)f, (x) = 0 (mod p).
Si la congruence proposée admet encore d'autres racines 8,7,..., on doit avoir (B— a)f, (8) =0, (y — a) f(y)=0,
donc f, (8)=0, f(7}=0, etc., puisque, par hypothèse, f—a, y —a
ne sont pas divisibles par p. On voit donc que ces racines £, y, ... sont aussi racines de la congruence
qui est du degré n — 1.
La congruence du premier degré admet toujours une racine: on peut donc conclure qu'une congruence du second degré admet tout au plus 2 racines, une congruence du troisième degré tout au plus 3 racines ; généralement on peut énoncer le
Théorème IV. — Une congruence de degré n par rapport à un module premier admet tout au plus n racines.
Et nous pouvons ajouter encore:
Théorème V. — Les racines de la congruence de degré n f(x) =0 (modp) étant a,B,7,...,A4, on a identiquement
f@)=(xc—a)(x—B)...(æ—2f(x) (modp), f, (@) étant un polynôme en x tel que la congruence | f(x) —0 (mod p) n’admet aucune racine.
On en déduit encore facilement le Théorème VI. — Si la congruence de degré n f(æ)=0 (modp) admet n racines et qu’on a f(x) =f (@)f2(&@) (mod p), alors les congruences
f(@)=0, f(&)—0 (modp) des degrés n, et n,,(n, tn, — n) admettront respectivement », et »% racines.
19. Pour donner, dès à présent, un exemple de la fécondité de ces principes, considérons avec Lagrange le polynôme
(1) xt +1)(x+2)...(x+p—1)=xr +A,xr-lH+ A, +... HA, 1x.
En changeant x en x + 1, on aura aussi @+1)(& +2)... +2») = = (a+ 1) A (@ +1) + A (m1). An (x +1) Or, il est clair que ces deux polynômes sont congrus entre eux, sui-
vant le module », que nous supposerons premier car leur différence est
En écrivant donc que les coefficients des mêmes puissances de x sont congrus (mod p), on a
A=1+A; (modp),
is Bipam A; + A,
arr ee pin pers +,
1.2.3 __p(p—1)..:8.2 (p—1)...2 2 7 12. D ie ur AT QUE GE met Me mr 0=1+ A+ A+... + An o + As.
On remarque ici que les coefficients du binôme PRE
