FRA QE TRES L

ger. + seconde congruence montre alors que A, =0 mod p, ensuite la

troisième que A, = 0 mod p, etc., jusqu’à l’avant-dernière, qui montre

que A,-2—=0. Donc (2) . . . . A, =A=A;=...—Anr 2=0 (mod p)

sont tous des entiers divisibles par p : on peut les négli-

et la dernière congruence donne ensuite OR à: -. Moi ti=0 (mod p).

Si l’on se rappelle la signification de A,-:, on a le

Théorème de Wilson, p étant un nombre premier, Dan, (51h

est toujours divisible par p.

Ensuite nous avons d’après (1), (2) et (3) la congruence identique x(x+1l)@+2)...(x+p—1)=2xr—x (mod p).

Mais, parmi les p nombres consécutifs x, æ+1,...,xæ+p—1, il

y en a toujours un divisible par p; donc XP — %

est toujours divisible par p. En supposant = a non divisible par p, on a le

Théorème de Fermat, a étant un nombre entier non divisible par le nombre premier p,

aP—1l—1 est toujours divisible par p.

Autrement, la congruence x? -1— 1—0 (mod p) admet les p — 1 racines 1,2,3,...,p—1.

Le théorème de Fermat est un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres; nous le retrouverons dans le Chapitre IV, où nous traiterons particulièrement des résidus des puissances et de la théorie des congruences binômes.

20. Les systèmes de plusieurs congruences du premier degré à plusieurs inconnues se présentent maintenant naturellement à notre attention, mais nous consacrerons à ce sujet important le Chapitre III tout entier. Ici nous nous bornerons à traiter une question élémentaire et dont on a souvent besoin. La théorie des équations indéterminées est liée évidemment très étroitement à la théorie des congruences; nous discuterons ici l'équation indéterminée

A)... . at Halo + d3%g+... +An+1ln+1i =,

A A5. An +1 Et u Étant des nombres donnés, x, %,..., Œn+1 étant des inconnues qui doivent avoir des valeurs entières Il est clair d’abord que « doit être divisible par le p. g. c. d.

d=(4;, @e;...n41) des coefficients &,, &,..., än+1 Mais, pour que d ait une valeur déterminée, il faut supposer que les coefficients a,,4@,...,4n4+1 ne soient pas tous nuls. Ce sera là la

seule restriction à laquelle nous soumettons les données du problème. Maintenant, si w est divisible par d, le problème admet toujours des solutions. Cette proposition est vraie dans le cas n —1, et il est très facile, en partant de là, et à l’aide d’une induction, de montrer qu’elle est vraie généralement. |

Mais nous suivrons une autre voie qui nous donnera en même temps toutes les solutions du problème. Mais ici une explication est nécessaire, si les valeurs

2, =Ùù, Lo = Vo, ans Ln+1—=0n+1;, satisfont à la relation (1); de même que les valeurs XL —= Ci; Lo = Co), us: Ln+1—= Cn+1;

ces deux solutions seront considérées comme distinctes si les différences br — Cr, RS; nn +1 ne sont pas toutes nulles. Il importe de bien observer cette convention; ainsi, même dans le cas où a, 1 —0, les solutions % = b,, La = by, os Zn = DÙn;, Tn+1—=0Ün+1 et Z =, < AE, Ve Ban Lan —=Ùn;, Ln+1=0nt1 + seront considérées comme distinctes, tant que 4 n’est pas nul. Les coefficients à, &,...,@än+1 n'étant pas tous nuls, on supposera que a, n’est pas nul. On pourra déterminer alors deux nombres a et y satisfaisant à la condition

aa + %9 y —=(4;, 0) , et ces nombres seront premiers entre eux, en sorte qu’on pourra ensuite déterminer deux nombres £ et à par la condition

ad— By=l1.

On pourra prendre du reste 8 — — a, :(a,, 42), à = + a, :(a;, @); c'est là une remarque dont nous profiterons tout à l’heure.

æ, = am + B x TP ja = Xi — 1%, Lo = y 1 + 0% l=—yx +ax,

l'équation (1) deviendra

(2) . . (a do) 2 + Do 2 + A3 Lg Æ Aa La +... + Anti Ln+1 = U

Il est clair que ces équations (1) et (2) sont équivalentes en ce sens, que si l’une des équations est impossible, l’autre le sera; et que, si l’on connaît une solution de l’une de ces équations, on en déduira une solution de l’autre. À deux solutions distinctes d’une de ces équations correspondent toujours deux solutions également distinctes de l'autre.

Remplaçons maintenant de la même manière les inconnues x et x; dans (2) par deux nouvelles inconnues x; et x;. en posant

(@, da) à + A3 ÿ1 = (13 As A3); dd — Bi —=1, di = Ai + Pas, a = À 21 — Pts, Ds YA + DT, A —= — pit + 148,

on obtiendra une transformée encore équivalente à (2) et à (1) (3) . (ai, @, as) x1 + bad + Da 28 + Qata +... Lanti%n+1i=U.

On peut continuer ainsi, en opérant maintenant sur x et x, etc. Après n transformations, on aura la transformée équivalente que voici

(4) (@,02,..., an+1) &Ÿ° + bob + bah + bah +... + bnp nt =, et l’on obtient les expressions de x,,...,%4+1 au moyen de substitutions successives sous la forme

a = A1 2° HE ooab Æ as 28 Æ da +. Æ Gint1 Tn+1,

%2 = Az aŸ” + @2,2 X2 + Q2,3 T3 + Q2,4 æ4 +... + A2,n +1 Ln +1 ,

6) xs = Às a” Æ as, 24 + ass 2 +... Hasnt1dh+1, ta = A4 a” + ua 24 +... + danti Th+1; Be pt re € de MIS 2,4 NOUS 44 PEN En 0 f

En +1 = An 41D + An+in+1ln+1.

Ces formules donneront toutes les solutions du problème, si l’on prend pour 2%, x, ,...,2/,,, toutes les solutions de (4). Mais on remarque que, si l’on prend pour £ et à les valeurs que nous avons

indiquées plus haut, on a b, —0. En appliquant donc toujours le même procédé, on aura aussi els... shui 0 Mais alors les solutions de (4) sont en évidence; il faut évidemment que x soit divisible par d, et l’on obtient toutes les solutions de (4) en prenant 4{° —u:d, et en donnant à |

22, AB3 ..., An+1 toutes les valeurs de — à + ».

Théorème VII. — On obtient toutes les solutions de l’équation indéterminée (1), et chaque solution, une seule fois, en posant {= u : d

dans les formules (5) et en faisant parcourir à x, ..., x,,, toutes les

valeurs entières de — oo à + .

On voit sans difficulté qu’en procédant comme nous l’avons indiqué, les coefficients 42,2, 43,3, An11n4+1 Ont les valeurs suivantes: 2,2 — Où : (1, Qz), 3,3 — (&1, @) : (a, @2, as),

An+i,n+1 = (@, d2,..., din) : (1, A2, ..., An +1).

21. Cette solution donne lieu à quelques remarques utiles. Il est clair qu’en ajoutant les équations (5) après les avoir multipliées par

As A5... An+1 les coefficients de x, x,,...,x,,,, s’annulent. On a ainsi des relations homogènes entre 4,, 4,,...,an+1, qui déterminent les rapports de ces quantités. En supposant

X, Xo X3 …. Xe +1

Qn,2 2,2 0 à 0 . DURE

D— di,3 02,3 d3,3 …. 0 J=MX; +MXo+... + MitiXnes, Uin+1 n+1 sn+1 +: An+in+1 on aura RAR... =hM:h:'h,:...:: ha:

Mais il est clair qu’on a

Mi = a, X 43,3 X …. X An+in+1=:d;

donc, généralement, M =0z:d, RæmEt,8, RTE

En multipliant donc, par exemple, la dernière ligne horizontale du déterminant D par d, on obtient un déterminant dont les mineurs ont les valeurs a,, &,..., än +1. On voit par là que l’on peut toujours déterminer n lignes de n + 1 nombres entiers telles qu’en ajoutant une (n + 1)ème ligne et formant le déterminant, les coefficients multipliés dans ce déterminant par les différents termes de la (n + 1)è"° ligne, soient des nombres donnés.

C’est là une proposition donnée par M. Hermite (Journal de Crelle, t. 40, p. 264), qui en a fait une application très importante.

22. En cherchant l'expression de x”, &,..., 44 ;1 comme fonctions linéaires de x,,%,..., 4n+1, On trouve d’abord, à cause de b, = b; = . — Dh + 1 = 0.

(@, do) Xi = GX + Lo,

(@, do, d3) 2 = di Gi + Go Lo + A3 L3)

(a, @,..., 4n43) 21 = di + Go Lo +... + An +1 %n +1,

et ensuite on reconnaît que les expressions cherchées se présentent sous la forme

DT = (Qi Li + Qo Lo +... + ani Mn +1): d, T2 = 09,1 T1 + G2,2 La, Ts = a8,1 Li + a3,9 Lo + a5,8 Xs,

Ln +1 = An +1,10 + An 41,2% +... + anyint1An+i

Le déterminant des fonctions linéaires au second membre est évidemment — 1, comme cela a lieu pour les équations (5), car les déterminants des deux systèmes sont réciproques et en même temps des nombres entiers. Ces déterminants sont donc, tous les deux, soit — + 1, soit —— 1, mais il est facile de voir que c’est la première valeur qui a lieu.

On voit donc que, étant donnés les nombres entiers UN 7. it, on pourra trouver toujours » lignes de n + 1 nombres entiers, telles qu’en les ajoutant à la ligne donnée, on obtient un déterminant égal au p. g. c. d. de 4,,@,..., An+1.

C'est là un résultat dont on a souvent besoin. La question a été posée et résolue par M. Hermite (Journal de Mathématiques appliquées, t XIV, 1849). Nous verrons, dans le Chapitre III, qu'il est extrêmement facile de déduire d’une solution particulière de ce problème toutes les solutions possibles.

23. Il convient de considérer plus particulièrement le cas w — 0.

di Ti + A9 Lo + Ag O3 + ++ + On +1 En +1 = 0.

Si l’on a m solutions de cette équation

ki ka is ... kKin+1 (Ki) ka1 Ke2 Kes ... Kan+1 (Ko) Km L Km, 2 Km, 3 ss... Em,n +1 (K»)

nous dirons que ces solutions sont indépendantes, lorsque les déterminants de degré m dont les éléments sont puisés dans cette matrice (et que nous appellerons les déterminants de ces solutions) ne sont pas tous nuls. Il est clair qu’un système de solutions indépendantes se composera tout au plus de n solutions, car, les nombres a,,@, .…., än +1 n'étant pas tous nuls, le déterminant de n + 1 solutions est toujours nul. On peut représenter une solution par un simple symbole (K,;) qui représente ainsi n + 1 nombres entiers, pris dans un ordre déterminé.

On peut déduire des solutions (K;), (K:2),..., (Km) une nouvelle solution

(Rd + Ko to +... + Km fm);

dont les éléments sont

ki,rt1 + ko,r to + karts +... + kmrtm (r=1,2,...,n +1).

Nous dirons qu’un système de solutions (K;), (K:), ..., (Km) forme un système fondamental de solutions, dans le cas où l’on obtient toutes

les solutions de l'équation proposée, et chaque solution, une seule fois, en donnant à /,,/,,...,/!… toutes les valeurs entières de — et + dans l'expression (KE A ER L'existence de ces systèmes fondamentaux ne fait pas de doute:

nous avons obtenu déjà (théorème VIT) un système fondamental composé de n solutions.

Théorème VIII. — Un système fondamental de solutions se compose nécessairement de n solutions indépendantes.

D'abord, les solutions qui composent un système fondamental (K,, K:,..., Km) Sont nécessairement indépendantes. En effet, dans le cas contraire, on sait qu’il existe une relation identique

(K, u + Ko Uo +... + Km Um) = 0, les u,, 42, ..., um n'étant pas tous nuls. On obtiendrait donc la solution LES ARC PE EE: À non seulement en prenant h=h=:.=h 0, mais encore en prenant h=%, Lo = Vo res ln = Um, ce qui est contraire à la définition d’un système fondamental.

Et en second lieu, on a nécessairement m—n. En effet, la supposition de m<n est inadmissible, car il en résulterait que m + 1 solutions quelconques ne pourraient jamais être indépendantes. Or, le système fondamental que nous avons obtenu se compose effectivement de n solutions indépendantes, dont les déterminants (d’après le n° 21) sont a: d(k=1,2,...,n<+ 1).

24. On s'assure facilement que n solutions indépendantes quelconques (K;), (K:),...,(K,;) ne forment pas toujours un système fondamental de solutions Car si l’on cherche à représenter une solution quelconque par

Ki +Ko/ +... +Kutn), on trouve bien toujours des valeurs déterminées pour #,,4,...,{n, mais ces valeurs seront en général fractionnaires.

Théorème IX. — Un système de n solutions indépendantes, tel que le plus grand commun diviseur de ses déterminants

M, , M, …., M, + 1 est — 1, forme un système fondamental de solutions.

En effet, si l’on cherche à représenter par P P

(Ki 1 + Koh +... +Kn/n) une solution quelconque b,, b,,...,b, +1, on obtient, pour déterminer lirl25-..,ln, Un système de x + 1 équations linéaires, mais ces équations sont compatibles à cause de la relation

A0 + A2 09 +... + an+1 0n +1 = 0.

On peut donc, pour déterminer les inconnues, faire abstraction d’une quelconque de ces équations, et l’on obtient ainsi » + 1 systèmes de n équations dont les déterminants sont M,,M,,...,M,+1 La valeur de tx se présentera donc sous la forme

hi — en PR ee AE "ARTE PURE My +1

Pis Pas. , Pn+1 Étant des nombres entiers. Mais, si la valeur fraction-

. . , . T . o naire irréductible de tx est—, 8 divisera M,,M,,...,M,:1. On a donc

s— 1, c’est à-dire {4 a une valeur entière et les solutions indépendantes (K;, K:,...,K,) forment un système fondamental, ce qu’il fallait démontrer. Il est clair que les déterminants de » solutions indépendantes sont proportionnels à a, a,...,an+1 (voir n°. 21).

Théorème X. — Les déterminants d’un système fondamental de

solutions sont, abstraction faite des signes, MO Mid... Gi

Désignons par (A), (A:),..., (A) le système fondamental particulier que nous avons obtenu et dont les déterminants sont 04: d(k— 1, 2, …, n +1). Alors Œ), (K:),...,(K:) étant un autre système fondamental, on aura | (a Ki + ao Ko +... + an Kn) = (As), (Bi K; + Po Ko +. des LE

HT RSR NOÉ che on, dd Gé es OR DS DS D OS Du Ah ta CA Qu

A Ki + Ko +. sh 2 sp

On voit par là qu'un déterminant quelconque a: d, du système fondamental (A,), (A2), ..., (A,) est égal au déterminant correspondant du système fondamental (K.), (K;), (K;) multiplié par

do {On A Re.

On a donc nécessairement A = + 1.

La liaison des divers systèmes fondamentaux est évidente. On voit que chaque système fondamental fournit une solution du problème que nous avons considéré dans le n° 21.

25. La méthode la plus simple pour obtenir un système fondamental de solutions se fonde sur la remarque suivante. Supposons que l’un des coeffcients a,, &,..., an+1 soit égal à

d=(a,,@,..:) An+1)) par exemple a,+:1—d. Alors il est clair que, pour avoir toutes les solutions de l'équation indeterminée

A1 % + 9 Lo +... + On Æn + An +1 Æn +1 = 0.

il suffit de donner à x,, x,, ..., x, des valeurs entières quelconques et à 2%n +1 la valeur (entière aussi) qui en est une conséquence. On a donc, dans ce cas, immédiatement un système fondamental de solutions correspondant à la solution générale

Gt HGoto+eÆontn d

% =; Lo =, ..., Tn = ln) Tn +1 —=

Si le cas particulier que nous avons considéré ne se présente pas, soit a, le coefficient non nul, dont la valeur absolue est la plus petite. En posant

dy = ki Ai + bo, A3 = ko Ai + ba ….) An +1 = En A + bn+1, D = Li + ki Lo + ko %g +. + An An, on aura une équation transformée CEA + Do Lo + ds dy +. …. Le Dbn+1%Xn+1= 0.

Par un choix convenable de 4,, 4, .…, on peut faire en sorte que le

plus petit coefficient de l'équation transformée soit moindre que a, ou même ne surpasse pas + a. En continuant ainsi, on tombe finalement sur une équation dont un des coefficients est d et dont on peut écrire immédiatement un système fondamental de solutions auquel correspondra un système fondamental de solutions de l'équation proposée. Cette méthode, qui s'applique également à l'équation Qi Li + do Lo +... + An+1An+1 =,

se trouve dans un Mémoire posthume d’Euler. Jacobi l’a rappelée à l'attention des géomètres dans un Mémoire également posthume (Journal de Crelle, t. 69, p. 21).