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E étant un entier positif ou négatif et 0£a, < à, 0< b, < b, 0<bh<

La solution de l’équation indéterminée ax — My—=1 a été donnée en Europe, pour la première fois, par Bachet de Méziriac (Problèmes plaisants. et délectables, qui se font par les nombres. 2 édition; 1624. 5° édition, par Labosne ; 1884). Les anciens géomètres hindous, Bhascara et Brahmagupta connaissaient aussi déjà la solution de ce problème.

Le problème du n° 11 se trouve traité complètement dans d'anciens

Livres d'Arithmétique chinois. On y trouve non seulement la méthode de Gauss (n°13), mais aussi la réduction du cas général au cas où les modules sont premiers entre eux (n° 15). On peut voir sur cette question

Biernatzki, Journal de Crelle, t. 52.

J. Bertrand, Journal des Savants, 1869.

Matthiessen, Journal de Crelle, t. 91.

La fonction (M) a été considérée pour la première fois par Euler. Les Mémoires d'Euler sur l’Arithmétique ont été réunis en deux volumes (Leonhardi Euleri Commentationes arithmeticæ collectæ. Petropoli, 1849). Nous citerons toujours cette édition; la fonction y se rencontre dans le Mémoire Theoremata arithmetica novo methodo demonstrata, 1759 (tome I, p.274). La démonstration d’Euler est reproduite dans le tome II de l’Algèbre de Serret. Le théorème =(d) = est dû à Gauss (Disquisitiones arithmeticæ, 1801, art. 39; tome I des Œuvres complètes).

Les théorèmes de Lagrange sur les congruences se trouvent dans le Mémoire: Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombres entiers ((Euvres, t. II) et la démonstration des théorèmes de Fermat et de Wilson, Œuvres, t III, p. 425.

La considération d’un système Piel de solutions d’une ou de plusieurs équations indéterminées est due à M H.-]. Stephen Smith (Philosophical Transactions of the Royal Society for the year 1861; vol. 151).

Nous indiquerons ici les principaux Ouvrages d’un caractère général sur la théorie des nombres:

Gauss, Disquisitiones arithmeticæ (Œuvres, t. 1). Il y a une traduction française par Poullet-Delisle.

Legendre, Théorie des nombres 3 édition.

Smith, Report on the theory of Numbers (British Association for the advancement of Science, 1859, 1860, 1861, 1862, 1863, 1865).

C’est un résumé extrêmement important sur toutes les parties de la théorie des nombres auquel nous aurons à emprunter beaucoup de choses.

Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben von R. Dedekind. Dritte Auflage, 1879.

Serret, Traité d’Algèbre, 5° édition, t. Il.