Considérons d’abord le système linéaire et homogène

Mc: Gi,1 C1 + Gi,2 Xe +... + ai minTmin = 0, i=1,2,...,m.

Nous supposerons que ces équations sont linéairement indépendantes, c'est-à-dire que tous les déterminants de la matrice de ce système ne sont pas nuls. Le plus grand diviseur de la matrice a alors une signification précise ; soit d ce plus grand diviseur.

Le moyen que nous emploierons pour trouver toutes les solutions en nombres entiers consiste dans l'introduction de nouvelles inconnues.

Au lieu de %,, %,...,%m+n, On peut introduire de nouvelles inconnues, en posant

Li Ci,1 æ1 + Cie æo +. . «+ CiminTm+n fi !, 2, ..) MN.

Les c;x seront des nombres entiers, et nous n’emploierons que des substitutions dont le déterminant |c;x|= +1.

On peut alors exprimer réciproquement les x’ par des fonctions linéaires à coefficients entiers des x; et, comme nous ne considérons que les solutions en nombres entiers, le système transformé sera absolument équivalent au système donné, c’est-à-dire à deux solutions distinctes d’un des systèmes correspondront toujours deux solutions également distinctes de l’autre.

Parmi les déterminants de la matrice de (1) qui ne sont pas nuls, il y en aura au moins un dont la valeur absolue est le plus petit. Nous pouvons supposer, en adoptant la notation du n°3, que A soit ce déterminant minimum. Supposons d’abord que tous les déterminants Aim+r Soient divisibles par A. Alors il est clair que l’on obtient la solution la plus générale de (1) en donnant à Zz»+1, ©m+2, ..., Æm+n des valeurs entières absolument quelconques et en déterminant ensuite Ds Los ce Em Par les formules

Li = — (A im+1%Tm+1 - À i,m+2%m +2 . us + Ai,m+nTm+n) Je. 6 (CES PA re |

On voit, du reste, par la formule (5) du n°3, que, lorsque A divise tous les A; »+x, il divisera tous les déterminants de la matrice, en sorte que l’on doit avoir A = + d.

Mais supposons que A ne divise pas tous les A;+% et, par exemple, ne divise pas Aim+1. Alors, on peut toujours trouver un entier c tel que la valeur absolue de

Ai,m+1—cA

soit inférieure à celle de A. La substitution de déterminant + 1

GO —=2% (i=1,2,8,...,mm+2,m+8,...,m+n),

Lim +1 = Lm+1— CT transformera alors le système (1) dans un autre système dans lequel un des déterminants est A; »11 — cA. Le déterminant minimum du système transformé est donc plus petit (en valeur absolue) que A. Si ce déterminant minimum ne divise pas tous les autres déterminants, on pourra encore le diminuer par le même procédé. Il est clair que l’on finira par trouver un système transformé dans lequel le déterminant mini-

mum divise tous les autres déterminants, et dont on peut écrire alors immédiatement la solution la plus générale. Cette solution renferme, comme nous l'avons vu, n indéterminées auxquelles on peut donner toutes les valeurs entières de — © à + «.

Théorème I. — On obtient toutes les solutions du système ([), et chaque solution une seule fois, par les formules

di Brita + Boite +... + Pnitn,

(II) ; G=21,;8,;.:;m4n),

en donnant à #,,4,...,/, toutes les valeurs entières de — æ à + «.

Il est clair qu’en substituant les expressions (II) dans le système (1), les coefficients de #,,t,,...,t, doivent s’annuler.

On obtiendrait donc encore des solutions de (1) en donnant à #,4,,...,t, des valeurs fractionnaires. Mais il est clair que l’on ne peut jamais obtenir, de cette façon, une solution de (I) en nombres entiers, car toute solution entière correspond à un système unique de valeurs en: hères de h,4,...,t.

Pour obtenir, dans un cas donné, la solution générale sous la forme (IT), il sera plus pratique de procéder autrement. On cherchera, par exemple, par la méthode d’Euler (Chap. IT, 25), la solution générale de

@,1 Li + Qi,2 Le +... + dim+n mn = 0,

qui renfermera m + n — 1 indéterminées, puis on introduira ces valeurs dans la seconde équation

Q2,1 di + 2,2 L2 + .… + @2,m+n Xm+n = 0,

etc., jusqu’à ce que l’on ait épuisé les m relations données.

Si l’on transforme, comme nous l’avons fait, le système (1), il est clair que tout déterminant du système transformé est une fonction linéaire à coefficients entiers des déterminants de (I), et réciproquement. On voit par là que le plus grand diviseur des deux matrices est le même et, par conséquent, dans le procédé que nous avons employé plus haut, on trouvera finalement un système dont la matrice a un déterminant minimum égal à + d.