Considérons r solutions du système

O1,15 1,23 +.+3 Am+tn) 42,1, 2,9, +... A2,m+n)

ce db | ds | SCT TT , r,1; Ar,2s +.) Arm+n)

que nous désignerons quelquefois aussi par de simples lettres A,, A,

., A. Ces solutions sont indépendantes si tous les déterminants de degrés r ne sont pas nuls. Il est clair que l’on peut trouver tout au plus n solutions indépendantes, car, puisque toutes les solutions sont comprises dans les formules (IT) (n° 4) qui ne renferment que n indéterminées, n + 1 solutions ne sont jamais indépendantes. En multipliant les solutions précédentes par #,,{,,...,t{, et en ajoutant, on obtient une nouvelle solution

At +Ab+...+At dont les éléments sont Li = ail + dit +... Lait.

Nous dirons que les solutions de forment un système fondamental de solutions, lorsque l’on obtient toutes les solutions possibles, et chaque solution une seule fois, en donnant à #,,4,...,t, les valeurs de — w à + w, L'existence de ces systèmes fondamentaux de solutions ne fait pas de doute, car nous savons, par le théorème I, que Bis Pia, +. Bim+n Get. 0 est un tel système.

Théorème II. — Un système fondamental de solutions se compose de n solutions indépendantes.

Ce théorème est une généralisation du théorème VIII du Chapitre IT; la démonstration est exactement la même.

La matrice formée par n solutions indépendantes, ou par un système fondamental de solutions, est du type n X (m + n), donc du type complémentaire de la matrice du système (1).

Considérons la matrice du système ([) et la matrice formée par n solutions indépendantes

di,1; d1,2; re Aim+n) ii .) dns ns Üsixs .

Am,1, Am,2s +.., Am,m+n) 1,1; d1,2) …., Ai,m+n) à “si à nos : eur , An,1) An, 2» …. An,m +n-

Les relations qui existent entre ces nombres se réduisent à ceci : que la somme obtenue en multipliant les éléments d’une quelconque des m premières lignes par les éléments correspondants d’une des n dernières lignes est nulle.

On voit donc qu’il y a une réciprocité complète entre les deux matrices, et si l’on considère le système indéterminé Q,1 Li + Ai,2 Lo +... + dim +n Xm+n = 0 Fm i,3,.0.,4), les nombres di,1, 2, ..., Œim+n G—=1, 2,..., M), en donneront m solutions indépendantes.

D’après ce que nous avons dit dans le n° 2, on peut faire correspondre à chaque déterminant de la matrice | a;,|| un déterminant de la matrice || a;;|| d’un système de » solutions indépendantes.

Théorème III. — La matrice d’un système fondamental de solutions a l’unité pour plus grand diviseur.

Considérons, en effet, les formules

Gi = Piita + Boite +... + Bnitn, [i=1,2,...,(m—+n)] qui renferment la solution la plus générale. Il est clair d'abord que (B1,1 P1,2: . «Bim+n) = 1; car, si ces nombres étaient tous divisibles par c > 1, on trouverait une solution entière en posant {, — &, ce qui, on le voit facilement d’après

ce que nous avons dit plus haut, est contraire à la nature d’un système fondamental de solutions.

Ensuite, je dis que les déterminants de la matrice

Pi,is Biz, ..., Pim+n;,

Bar, Pas, ..., Pam+n ont aussi 1 pour plus grand commun diviseur. Car si ces déterminants étaient tous divisibles par c > 1, c ne divisera pas tous les éléments de la première ligne, par exemple c ne divisera pas f;:1; mais alors on trouverait encore une solution entière en posant

%* . ns HS Sage bis

ce qui est impossible.

Ensuite, je dis que le plus grand commun diviseur de la matrice

B1,1» B1,2) 4.47 Bim+kns

B2,1 ; P2,2; br. P2,m+n)

Bai, Bs2, -.., Psm+n est encore — 1. Car si ce plus grand diviseur était c >1, c ne diviserait pas, par exemple, le déterminant

Bai Pi,2 Bai Bas |” et, en posant se Bai B2,2 Le . Bs,1 B3,2 , Re Bi1 Pie : Bai Bs2l : Bi Biz ” : Dse Ba,2 | «

on trouverait encore une solution entière, ce qui est impossible. Il est clair que l’on peut continuer ainsi, pour arriver au théorème énoncé.

6. En cherchant à exprimer une solution quelconque a , Œo , ss Am +n par un système fondamental de solution £;;, on est amené à déterminer n inconnues f,,{4,...,n par m+4n équations

ai = Piiti + Paite +... + Bnitn (Gi=1,2,...,m+n).

On sait d'avance qu'il existe une solution unique et en nombres entiers; ce système linéaire doit donc présenter certaines circonstances

particulières. Nous allons montrer qu’elles se réduisent à ceci: d'abord le plus grand diviseur de la matrice du système est — 1, ensuite tout déterminant de la matrice complétée se compose de n + 1 solutions.

Théorème IV. — Un système de m + n équations entre n inconnues

aj = Pi,ita + Boite +... + Pritn (#-2211,3,:.., MF)

admet toujours une solution unique et en nombres entiers, lorsque le plus grand diviseur de la matrice du système est — 1 et que tous les déterminants de la matrice complétée sont nuls.

Nous ajouterons un théorème analogue sur les congruences.

Théorème V.— Un système de mn congruences entre n inconnues

ai = Biiti + Boite +... + Bnitn (mod M), (i=1,2,...,m+n)

admet toujours une solution unique, lorsque le plus grand diviseur de la matrice du système est premier avec M et que tous les déterminants de la matrice complétée sont —0 (mod M).

Il suffira de démontrer ce dernier théorème; nous pouvons écrire les congruences données ainsi

A;=a; (mod M), (i=1,2,...,m+n),

les A; étant des fonctions linéaires en 4,,4,...,t.. Considérons le déterminant minimum A de la matrice de ce système. Si A divise tous les autres déterminants, il sera premier avec M d’après notre hypothèse. Les n congruences correspondantes admettront alors une solution unique et cette solution satisfera aussi à toutes les autres congruences (voir le n° 1).

Mais si A= || LinLe...s. D

ne divise pas tous les autres déterminants, il ne divisera pas, par

exemple, le déterminant

Pinte Panit 5: Min st B1,2 B2, 2 APE b1,3 Pa, 3 ce. Pn,s Bin B2,n …. Bnn

Mais alors on pourra remplacer le système donné par le système

équivalent A;=a; (—=1,2,...,n,n+2,n+8,...,n<+m), An+1i—CÂAi—=an+r1—Ca,

et ce nouveau système aura, pour une valeur convenable de c, un déterminant minimum plus petit que A. On pourra ainsi diminuer le déterminant minimum jusqu’à ce qu’il soit devenu égal au plus grand diviseur de la matrice donnée. .Il divisera alors tous les autres déterminants et l’on est ramené au cas que nous avons considéré d’abord.

Le théorème IV peut se démontrer d’une façon toute semblable, ou encore par le raisonnement que nous avons fait dans la démonstration du théorème IX (Chapitre IT).

Nous indiquerons encore une autre démonstration du théorème V.

Si l’on écrit

M—=PXQXRX...,

où P,Q,R,... sont des puissances de nombres premiers distincts, on reconnaît facilement que les congruences données admettent une solution unique, par rapport à chacun des modules P,Q,R,..., d'où l’on peut conclure qu’elles en admettent aussi une par rapport au module M.