D AE

On en conclut

RG e+k=(Eaajx(E aa):

or on a, puisque || D | est une solution,

>. Ass £,

et, d’après la proposition du n° 17, D'ara=+l;

Il est clair par là que le problème proposé est identique avec le suivant que nous avons déjà résolu dans le n° 15: Trouver toutes les

donc

matrices || D, telles que

On obtient ces résultats aussi en s'appuyant sur le théorème VIT,

car la relation (1) du n° 17 peut s’écrire

D'asae= +.

Or, d’après le théorème cité, le dt ser A, : Ay est constant et égal à +6; donc

et, ensuite, il est évident que les relations

D'AaAa= +6, S'ArAs—=+ |,

sont équivalentes.

19. Nous terminerons ces considérations par quelques remarques sur le plus grand commun diviseur d’une matrice.

Dans le cas d’une matrice du type 1 X n, le plus grand diviseur peut être défini aussi comme la plus petite valeur (sauf 0) que peut prendre la fonction linéaire |

y Ci + A9 To +. + an&n,

pour les valeurs entières de x,,æ,...,æ,. Il existe une proposition

analogue pour une matrice ||a;+|| du type m” X (m +n). Considérons les m fonctions linéaires

Xi @i,1 %1 + Gi,2 Lo +. 4 + Gi,m4n Lm+n É=1:2,.:.:.4um),

et m systèmes de valeurs de ces fonctions

Aix ax dii+...Harmindimtn ot N.

le déterminant |A;4| est toujours divisible par à, le plus grand diviseur de la matrice ||a;x||; mais nous savons, par l’analyse précédente, qu'on peut toujours choisir les d;, de manière que ce déterminant devient égal à + 6.

Par conséquent, à est aussi la plus petite valeur (sauf 0) que peut avoir le déterminant formé par m systèmes de valeurs des m fonctions linéaires X:. RE

20. Soient |\a;,4|| ou I A || une matrice du type m X (m+n), || Ap| la matrice du type m X p formée par p colonnes de || A. Nous supposons p < m. Désignons encore par d, le plus grand diviseur de || A, ||, et par D le plus grand commun diviseur de tous les déterminants de | A || qui renferment les p colonnes de || A, |. Il est clair que D est un multiple de d,. Nous allons montrer que tous les déterminants de || A |

sont divisibles par ?

Pour simplifier un peu la démonstration, nous supposerons que || A, | est formée par les p premières colonnes de || A. Nous avons à démontrer qu'un déterminant quelconque A de ||A| est divisible par

D . : . re Si ce déterminant À a un certain nombre r de colonnes communes £

avec | A,||, nous pouvons encore supposer que ce sont les r premières colonnes de || A, |. Cela étant, nous désignerons un déterminant quelconque de || A|| par le symbole

LA; do, 23 An];

où 4,2,...,1n indiquent les rangs des colonnes de || A || qui figurent dans le déterminant.

En ajoutant à la matrice une (m + 1)è%° ligne i1s Gi,2s +++ Ai,m+n) on obtient une matrice du type (m + 1) X (m + n), dont tous les déter:minants sont nuls. En développant un tel déterminant comme fonction linéaire des éléments de la dernière ligne, on aura, par exemple, C2, 3,...,D; À; do de > Âm—p+1]@i,1 + Foi + C1, 2... P— l, di do - «3 Âm — p+1]di,p +[1, 2, .… D; b, b, . 23 Me DE ÈT au T .. +[1, Ne 2 l, b, .. > À —p] di,m—p+1 — 0.

Les indices 1,, L,... sont ici et dans la suite toujours > p.

D'après notre notation, d, est le plus grand diviseur de la matrice | A, |, formée par les p premières colonnes de !| A |. Il est clair, d'après cela, que ce qu’il faudra entendre par dp-1, dp-2,..., d,, ce sont les plus grands diviseurs de matrices que nous pouvons désigner par LA,-1ll, ll Ap-oll,...,l| A lk Dans l'identité que nous venons d'écrire, on peut prendre i=1,2,...,m. |

Si l’on élimine alors entre p des équations ainsi obtenues les quantités qui multiplient ai1, aie, ..., @ip—1, il viendra

[1, 2, ..,P—]; À; db... Âm—p+1] Ap + + (1, 9,...,2, des dgnocsÂm 041] Ab He HD, D dose 15 dm — p] a" -?#1=0, Ici A, est un des déterminants de || A,||, et il est clair que dd, .…, A#7?+#1 sont tous divisibles par dy 1. Donc

[1,2, CES ‘durs 1, A5 do ss Âm—p +1] A»

est divisible par D X d,-1. Mais A, peut être un déterminant quel-

conque de || A,||; par conséquent, [1, 2,...,pP— 1,4, do; ss Âm-p+1] dp

est aussi divisible par D X d-1, c’est-à-dire [1, 2, ARV ES 1, À, b, ...) lé 1541]

est divisible par —X%-1.

En laissant de côté maintenant la pi» colonne de |A, on a les identités Gi L2,8,,p— 1 does mp+ eat +... 01,2,...,p—2, de, mp4] dpi . LU, p— 4 lo de cs dn pales He HOUR 00 dde crlne til, = 0 11 2,..., 0

En éliminant entre p — 1 de ces relations les coefficients de a;1, &;», y Gips, 1 Vient [1,2,...,9 —9,4,4,...,m-p+2] Ap—1 + HITS 121... nul PUS. p—11,1....4,,1]849-/" 20, où A»-1 est un des déterminants de ||A,-1|| et où A!;, Aÿ:,..., a”=?+? sont divisibles par d,-2. On voit donc que lus lhe.:

L1 D . — d — L1 , est divisible par BXA? 7 Aer pe puisque A,-1 peut être un dép

terminant quelconque de ||A,.||, on en conclut que [1,2,...,p—2,l,4,...,1m-p+2]dp -1, doit être aussi divisible par le même nombre, c’est-à-dire [1,2,...,p—2,4,4, c.., Âm p+2]

D X dp-2 dp

PS nd ue 2 2

est divisible par . En continuant ainsi, on reconnaît que

est divisible par Par

a. et enfin que [4, ,...,1»] est divisible par p

D PA , / 4 4 P RQ La proposition énoncée est démontrée.

D'après la démonstration, on voit facilement que, si l’on suppose que tous les déterminants de || A|| ne sont pas nuls, les déterminants de || A|| qui renferment les p colonnes de || A,| ne peuvent pas être tous nuls, à moins que tous les déterminants de || A, || ne soient tous nuls. D et d, sont alors indéterminés tous les deux.

Corollaire I. — Lorsque d,—=1, D est le plus grand diviseur de la matrice || A ||.

Corollaire II. — Lorsque le plus grand diviseur de la matrice || A ||

est —1,ona D=d, 21. Considérons une matrice IB|l ou |b;x:1|, i=1,2,...,n, k=1,9,...,(m+4n),

354 SUR LA THÉORIE DES NOMBRES, formée par un système fondamental de solutions de

di1%1 + Qi,2%9 +... + Gimpn mn =, (= À; OR

Soient ||B,|| une matrice formée par p des colonnes de || B||, en supposant p <n, d? le plus grand diviseur de ||B, |. Soient ensuite à le plus grand diviseur de la matrice des a;x, et à, le plus grand diviseur de la matrice obtenue en supprimant, dans la matrice des a;, les p colonnes qui correspondent aux colonnes de || B, |. Alors on peut énoncer le

Théorème X. — Le plus grand diviseur d, est égal à +

En effet, soient A, A’, A/',... les déterminants de ||B|| qui renferment les p colonnes de ||B,|. Leur plus grand commun diviseur est dy, d'après le corollaire II du n° 20. Mais on a d’autre part, d’après le théorème VII,

ADD, ADI AE vs

D, D, D',... étant les déterminants de la matrice des a;x qui correspondent aux déterminants A, A’, 4/,.... Mais il est évident que ces déterminants 9, 9’, 9',... sont précisément ceux dont le plus grand commun diviseur est 6,, d'où la relation annoncée.

Il faut remarquer pourtant que tous les déterminants de la matrice | B, || peuvent s’annuler : d, devient indéterminé alors. Mais il est clair que, dans ce cas, on a aussi

en sorte que à, devient indéterminé en même temps. Réciproquement, si &, devient indéterminé, il en est de même de d;.

Nous avons supposé p < n, mais le théorème reste encore vrai dans le cas p—n, on retrouve alors un résultat connu (théorème VII).

L'énoncé du théorème se simplifie un peu dans le cas = 1, et si l’on se rappelle l’espèce de réciprocité que nous avons signalée dans le n°5, on verra que, dans ce cas, p peut avoir une valeur quelconque plus petite ou plus grande que n.

Systèmes de congruences linéaires.

22. Étant donné un système de m congruences entre inconnues (1) . . . Xi=adiititaisto+...+aintn—=0 (modM), on peut en déduire un système équivalent, soit en opérant une substitution de déterminant + 1 sur les inconnues %,,%,,...,%,, soit en remplaçant les »m congruences données par m combinaisons

(2) Xi=pi1X1 +pis Xo + “. + Dim Xm = 0 (mod M), 1=1)2;4..,0,

le déterminant des entiers p;4 étant encore + 1, en sorte qu’on peut

exprimer réciproquement les X; par les X',

En étudiant les équations linéaires indéterminées, nous avons employé exclusivement le premier moyen, la substitution de nouvelles inconnues ; mais ce n’est qu’en opérant à la fois par les deux méthodes qu’on peut obtenir la plus grande simplification possible.

En multipliant, dans le système (1), les premiers nombres par y,, »,

.., Ym et ajoutant, on obtient la forme bilinéaire

F= des Qi,k Tr Yi i=1,2,...,m Hans

Nous dirons que cette forme bilinéaire correspond au système de congruences donné.

Une substitution linéaire sur les x, dans le système (1), conduira à un système transformé (1’), et il est clair que la forme bilinéaire qui correspond à ce système (1) s'obtient simplement en effectuant directement la même substition sur les x, dans la forme F.

D'autre part, si l’on remplace le système (1) par le système (2), on

constate que la forme bilinéaire correspondant au système (2) s’obtient simplement en opérant dans la forme F la substitution

Yi=Piif + Paie +... + PmiYm Hit... 0 On voit par là que nous avons à étudier les différentes formes que

peut prendre la forme F en opérant sur les variables x, y des substitutions de déterminants + 1.

23. On appelle, en général, forme en Arithmétique un polynôme homogène de plusieurs indéterminées x, y, 2, ... à coefficients entiers. Si une telle forme F prend une certaine valeur m, pour certaines valeurs entières des indéterminées, on dit qu’elle représente le nombre m.

En effectuant dans F la substitution à coefficients entiers

xz=ax +by +cz +..., y = do% + by + C2 + ..., 2 = ax + by + cz +...,

on obtiendra une nouvelle forme F’, et l’on dit que F renferme F’, ou bien encore F’ est contenue dans F. Il est clair que tout nombre m qui peut être représenté par F’ peut être représenté aussi par F, mais le réciproque n’a pas lieu nécessairement.

Le cas particulier où le déterminant de la substitution que nous venons d'effectuer est égal à + 1 est le plus important.

On peut alors exprimer réciproquement x’, y’, z',... comme fonctions linéaires à coefficients entiers de x,y,z,... et F est contenue aussi dans F'; on dit alors que les formes F et F’ sont équivalentes.

Il est évident que deux formes équivalentes représentent les mêmes nombres.

Ce qui caractérise une forme F dans ces considérations, ce sont ses coefficients; la notation des inconnues, au contraire, n’a aucune importance et l’on peut ainsi remplacer dans F’ les lettres x’, y', z',... de nouveau par Z,%ÿ,2Z,...

L'un des problèmes les plus importants qu’on a à résoudre est maintenant le suivant: Étant données deux formes F et F’, décider si elles sont équivalentes ou non. Et, pour compléter la solution, il faudra encore trouver, dans le cas où il y a équivalence, toutes les substitutions qui transforment F en F’.

Plus généralement, on peut demander à reconnaître si F’ est contenue dans F, mais nous nous bornerons ici à ajouter quelques remarques sur les conditions d'équivalence seulement.

Dans certains cas, la solution complète de ce problème se présente sous la forme suivante :

Pour que la forme F soit équivalente à F', il faut et il suffit que l'on ait h=l, ll, .…, L=lk

Ici L,L,...,14 sont certains nombres qui dépendent d’une manière déterminée des coefficients de la forme F, et I,,1L,...,1; dépendent de la même façon des coefficients de F’.

On peut dire alors que I,,L,...,1: forment un système complet d’invariants de la forme F, et, pour que deux formes soient équivalentes, il faut et il suffit qu’elles aient les mêmes invariants.

On peut étendre facilement ces considérations au cas où la forme F dépend de plusieurs séries d’indéterminées, comme cela a lieu pour la forme bilinéaire du n° 22. Et l’on peut aussi considérer simultanément plusieurs formes F, G,... qui dépendent des mêmes indéterminées.

24. Pour en donner immédiatement un exemple, considérons m fonctions linéaires

Xi=Gi1%1+ai2te +... + aimtnÆm+n f=1,%,.:.,M),

et un second système analogue

AU: %1 + a,2 %o Le …. + Ai,m+n Tm+n Msolis,...,#)

Comment pourra-t-on reconnaître si les deux systèmes sont équivalents ou non, c’est-à-dire s’il est possible oui ou non de les transformer l’un dans l’autre par une substitution de déterminant + 1? La réponse est ici immédiate d’après les développements du n° 10. En effet, nous savons que, par une substitution de déterminant + 1, on peut transformer les X; dans les Y;

Y =dy, Yo —= Bo,1 Yi + do Ye, Te — P3,1 Yi + B3,2 Ye hall

Y, = BPn,1Y1 + Pm,2Y2 + ER —1Ym—1 + dmYm;,

Où d,, d,..., dm Sont des nombres positifs, et OZ Bi,x < di LLTS DS PRE LENS à 3 à

Ces nombres di, Bix forment maintenant un système complet d’invariants, et, pour que deux systèmes soient équivalents, il faut et il suffit qu'ils admettent les mêmes invariants.

En effet, si les deux systèmes sont équivalents, ils représentent les mêmes systèmes de »m nombres, et dès lors leurs invariants sont égaux, car nous avons remarqué (n° 10) que ces invariants dépendent uniquement des divers systèmes de nombres représentés par les formes linéaires. Cette condition de l'égalité des invariants est donc nécessaire pour l’équivalence, mais elle est aussi suffisante manifestement.

On voit que la solution a été obtenue ici en transformant les formes linéaires X; dans les Y; qui affectent une forme particulièrement simple. Ce système des Y; pourrait s'appeler un système réduit; il est unique et le même pour tous les systèmes équivalents.