Plus généralement, soit

8 VE AU laxl où IA , ses |

une matrice donnée du type m X (m+n), dont d est le plus grand diviseur, Proposons-nous de trouver toutes les matrices

ne |

Ci | |[C |!

lait où ICI k—1,2,...,(m+n)

du type complémentaire n X (m + n) telles que

On peut remarquer d’abord qu’on peut supposer d=1, car nous savons qu’on peut trouver une matrice || A’|| du même type que |A |, dont les déterminants sont proportionnels à ceux de | A | et dont le plus grand diviseur est — 1 (n° 9). Cette matrice | A’|| étant obtenue, il est clair que les deux conditions la | C

sont absolument équivalentes. Nous supposerons donc d=1, et de plus qu’on ait obtenu déjà une solution particulière

| El! étant une matrice du type (m + n) X (m +») dont le déterminant est = +1. Mais il est clair que cette matrice ||E|| doit avoir ici la forme particulière |

0 0 1 0 0 0 Pi1 Pis :-. Pim 11 61,2 +... Ein Pn,1 Pn,2 ++ Pnm En,1 En2 --+ Enr:

Cette formule (1) renferme ainsi déjà la solution la plus générale du problème, mais on peut la mettre encore sous une autre forme en remarquant que la matrice ||E|| peut se mettre sous la forme d’un produit

ne ME hs 0 1 ROMANE ere Lu 6 D |: TR PTE PRE CRE: 0 Br bsrue D om 30,,e 0 D es EU on OHOCH TU et PERS Logett - Dé : At er ee MO es 0 €1,1 -.. Ein | Qi,1 1,2 ... im A ROUGE à | 0 0 .…. 0 En,1 …. En,n n,1 An, 2 ..…. An,m 0 0 0e à

où les g;,x peuvent avoir des valeurs quelconques. On obient facilement

€1,1 ..….. Ei,n

[CI = X |bir + Qi Qi, + Qi,o Qo,x +... + Gim Am, ||

En,1 .….. En,n

RC CON | k=1,2,...,(m+n)l"

où les 6; doivent satisfaire à la relation |e;,|=— + 1.

Pour obtenir la solution particulière ||B||, on prendra d’abord une matrice quelconque ||"”::|| ou | M|| du type n X (m<+n), telle que le déterminant de la matrice

ne soit pas nul. Par le procédé du n° 9 on pourra, sans changer les m premières lignes, en déduire une autre matrice du même type (m + n) X (m + n). et dont le déterminant est + 1.

16. Nous avons vu (Chap. II, n° 21) qu’on peut toujours trouver une matrice du type n X (n + 1) dont les déterminants ont des valeurs données, non toutes nulles. On peut se proposer d'obtenir toutes les matrices qui satisfont à ces conditions, mais nous traiterons directement le problème plus général :

Trouver toutes les matrices du type m X (m + n) dont les déterminants ont des valeurs données.

À cause des relations identiques entre les déterminants, les valeurs données ne peuvent pas être quelconques. Adoptons les notations du n° 8 et supposons que le déterminant A ne soit pas nul: on pourra se borner à considérer les mn + 1 déterminants A, A;»2+%. Ces déterminants-là ne peuvent pas même être des nombres arbitraires, il faut que les autres déterminants A’ qu’on en déduit par la formule (5) du n° 3 soient aussi des entiers. Mais, cela étant, nous allons voir que le problème est toujours possible et admet une infinité de solutions.

En effet, prenons d’abord arbitrairement les m premières colonnes avec la seule condition

[&ik| = À (4m Ek,2,...,m),

alors on pourra déterminer les autres colonnes comme au n° 3; il est vrai que ces autres éléments

Ai,m+k = (Qi,1 Ai,m+x + Gi,2 A2,m+x +... + Gim Amm+x) : À

ne seront pas des entiers; toujours est-il vrai que la matrice ainsi formée admettra pour déterminants les valeurs données, qui sont toutes entières. En multipliant les lignes horizontales par A, on obtiendra une matrice dont les déterminants sont proportionnels aux valeurs données. On peut alors déduire de là (par le procédé du n° 9) une autre matrice dont les déterminants sont encore proportionnels aux valeurs données, mais dont le plus grand diviseur est 1. Soit

8 || cette matrice, si d est le p. g. c. d. de tous les déterminants de la matrice cherchée, l’expression la plus générale de cette matrice sera ICI XIB 1}, où ||C]|| est une matrice quelconque du type m X m, dont le détermi-

nant est = + d. En prenant en particulier pour les a;x(i,k—1,2,...,m) les valeurs suivantes U1—=02=...—=m—im—1—=], Œn,m—= À ; aix =0, ik, on trouve que les déterminants de la matrice

FA à RER Ai,m+1 Aim+2 +. Ai,m+n D, 4 7/0 Aumt+i À92m+2 ++. Aamtn 0 0 REED A Am, m+1 An, m +2 …. Am,m+n

sont proportionnels aux déterminants de la matrice cherchée; on pourra donc en déduire la matrice || B||.

Si l’un des déterminants donnés divise exactement tous les autres, on le prendra pour A; dans ce cas, on peut écrire la matrice ||B|| sans aucun calcul.

Une autre méthode. pour trouver cette matrice ||B|| est la suivante; considérons le système d'équations linéaires homogènes dont la ma-

trice est A 1,m+1 À92,m+1 CE À mn, m +1 — À 0 .. 0 Ai,m+2 A 2,m+2 .. Am, m +2 0 — A PAR 0 Ai,m+n Ao,m+n ….. Am,m+n 0 0 +. —ÀA

La matrice formée par un système fondamental de solutions de ces équations sera une matrice du type m X (m + 1); ses déterminants seront proportionnels aux valeurs données et le plus grand diviseur de cette matrice est — 1. C’est ce qui résulte immédiatement des propositions établies précédemment, si l’on se rappelle le théorème VII et sa démonstration. |

17. Soit | A||—=||a;4|| une matrice du type m X (m—+n), dont le plus grand diviseur est 8, ||C||=|\c;x|| une matrice du type complémentaire n X (m + n), telle que 1,1 Ai,m+n

D ni 40m: series C1,1 .. Cim+n Cn,1 ++. Cnim+n

Nous savons qu’il existe de telles matrices (voir n° 15).

Soit ensuite | B||=||6;:| une matrice du type n X (m + n), formée par un système fondamental de solutions des équations linéaires homogènes

iii... + GimtnTm4n=0 (= 1,2, ,.m)

Les matrices |! B|| et ||C|| sont du même type; à un déterminant A; de la première on peut faire correspondre un déterminant A, de la seconde, en supposant que deux déterminants correspondants sont formés avec » colonnes de même rang (et prises dans le même ordre) dans les deux matrices. Cela étant, on a

Y'aa. = + 1,

la sommation s'étendant à toutes les paires de déterminants correspondants. Pour le montrer, remarquons que le plus grand diviseur de la matrice || B|| est l’unité: on peut donc former une matrice || D || — |! di x || du type m X (m + n), telle que

di,1 +. dimyn

dm1 -.. à (2 Snsainib 202 + 200 Jp b:,1 ... Di,m+n

bn,1 .….. by,m+n

En multipliant les deux déterminants (1) et (2), il vient

Ai: ... Am,1 0 PES 0 A: m de à Am mm 0 .. 0 = +0, U1,1 ..…. Um, 1 V1,1 ... Vn,1 Ui,n .…. Um,n , Vi,n …. Un,n

Aix —=@x,1 di1 + Gx,2di2 +... + ax myndimin, Vik —=di1cx1 + bi2cre +... +biminCkmin;,

c’est-à-dire

A,1 ... À 1 V1,1 p.e Un,1 ER € D « ... ee r 0.7 = + 6, Ai,m se Am, m Viyn +. Vn,n

Or, A, et Aa étant deux déterminants correspondants des matrices | A || et | D|| de même type, on a, d’après une propriété élémentaire des déterminants,

A:,1 ... Am,1 Re NET RON 2 dede A:,m .….. Am,m et de même U1,1 +... Un,1 =Yaa.

Vin .…. Dan |

Mais tous les déterminants À, sont divisibles par 8; on a donc nécessairement

D'asAa= +6, D'asac=+l, C.Q.F.D.

18. À l’aide de ce résultat, nous pouvons résoudre facilement le problème suivant : Étant donnée une matrice || A || du type m X(m+n), dont le plus grand diviseur est ô, trouver toutes les matrices ||D|| du même type et telles que

DAaAa= +6,

Aa et Aa étant deux déterminants correspondants des deux matrices. En effet, déterminons deux matrices ||B|| et ||C|| comme dans le numéro précédent. Si nous déterminons ensuite une matrice || D{|| par la condition

D BTE nous savons que cette matrice fournit une solution de notre problème.

Mais je dis qu’on obtient ainsi toutes les solutions du problème. Soit, en effet, || D || une solution quelconque, et posons