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par le p. g. c. d. de ses mineurs; il s'ensuivra Em = (,, @, &3, ...).

Mais il est clair que le p. g. c. d. des mineurs de (1) est divisible par 6 6...6m—1 = m1, Et, d'autre part, ce p. g. c. d. est un diviseur de dn 1 X Ÿ, (car dn 1 X Y5 est le p. g. c. d. des mineurs qui ne ren-

ferment pas la dernière ligne). Donc, w; divise e, 6; et est divisible

Em Gi __ œ: ; par . = sr On a donc nécessairement t t

(, #,...)=N x em,

M ..% et, d'autre part, e. est le p. g. c. d. des nombres e,, 6; = w; B;

(@ Bis Do Pas ++) = Em.

Le nombre E,—(«.,, w,,...) doit donc être un multiple de N Xe» et un diviseur de e,, ce qui exige

Næl!, Pau %és: C. Q. F. D.

A l’aide de ce cas particulier, il est facile d'arriver au théorème général.

Si, dans une matrice quelconque du type m X n, on se propose de calculer le nombre E;, on peut commencer par choisir 4 colonnes verticales, puis diviser chacun des déterminants du degré k de cette matrice partielle du type m X k(m2Z k) par le p. g. c. d. de ses propres mineurs. Soit 4; le p. g. c. d. des quotients ainsi obtenus ; alors, d’après ce que nous venons de voir, 4; est le kième invariant de la matrice partielle. Par conséquent, 1; ne changera pas en effectuant sur y;, Yo, .…., Ym une substitution de déterminant + 1. Mais E4 est évidemment le p. g. c d. des divers nombres 1,, 4, ... correspondant aux divers groupes de # colonnes; donc E; ne change pas par cette substitution de y, y,

.., Ym. Par le même raisonnement, on voit que E4 ne change pas en effectuant sur les x,, %,..., x, une substitution de déterminant + 1. Ex est donc le même pour toutes les formes équivalentes à F et, en considérant la forme réduite ou une forme normale, on constate que Ex = e.

30. La nouvelle expression des invariants conduit à plusieurs conséquences importantes. Soient

C1» C9, ... Ep

les invariants d’une matrice || 4;4|| ou || A. Supprimons dans || A || une

colonne ou une ligne, désignons par || A’|| la matrice ainsi obtenue, et par

ses invariants. [Il est clair que g£p et ensuite , est divisible par ex.

Si, au lieu de supprimer une colonne, on avait multiplié les éléments de cette colonne par un nombre entier N, les invariants de la nouvelle matrie || A’//|| seraient

ë, e& , .. ? Cp.

et ex est divisible par e4. Soient en effet P; le p. g. c. d. des détermi-

nants du degré # de || Al} qui ne renferment pas la colonne que l’on change, Qz le p.g. c. d. des déterminants qui renferment cette colonne,

on aura dx = (Pr; Qx), = P4, dé (Px, NQu), dx—1 —=(Pr-1, Qx—1), dur Ph, dei —=(Pr-1, NQx-1): donc be (Fa N) — (Pas NQue NP) (Pes Nda) __ (Pa s); dx dx LE dx Pays dx su “de ) de même 8-1 {Pr am, x} Puisque Pr, Pr =.0e EC

est entier, il en est de même de

Le... #0 VA ” dx . PR — Ck : Ole C. Q. F. D.

Il est facile maintenant d'établir les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une forme bilinéaire

G = »th4 bi, x Lx Yi

soit contenue dans une forme

FF Ma di, x Tr Yi.

En effet, soient

n = > ik T%) T

= D Fix y

les deux substitutions qui transforment F en G. On reconnaît d’abord que le rang de G ne peut pas surpasser le rang de F, car un déterminant quelconque de la matrice ||b;4|| est une fonction linéaire et homogène des déterminants de |\a;,x|. Chacune des substitutions qui transforment F en G peut être remplacée par une suite de trois substitutions comme au n° 28. Les substitutions de déterminants + 1 ne changent pas les invariants, mais une substitution telle que

bi €; Xi

a évidemment pour effet de multiplier les invariants par certains nombres entiers. Les invariants de G sont donc divisibles par les invariants correspondants de F. On reconnaît facilement que cette condition, qui est nécessaire , est aussi suffisante.

Théorème XI. — Pour qu’une forme bilinéaire G soit contenue dans la forme F, il faut et il suffit que le rang de G ne surpasse pas le rang de F, et que les invariants de G soient divisibles par les invariants correspondants de F.

Ce résultat comprend aussi le cas de l’équivalence.

31. Considérons maintenant les systèmes de congruences linéaires

(1) (di +ai2to +... +aintn=Ui (mod M) os ou (t=mliiis on)

Désignons par

les invariants de la matrice du système et ceux de la matrice complétée. Nous supposons que d, ne soit pas nul.

Posons = (M, ei), yi=(M, £i); Cæétsile = }y1572...7Yn)

alors on peut énoncer Théorème XII. — Pour que le système (1) admette des solutions, il faut et il suffit qu’on ait C=Fr.

Si cette condition est satisfaite, le nombre des solutions est exactement = C.

En effet, d’après le théorème VIII, le système (1) admettra des solutions seulement dans le cas où les plus grands diviseurs des deux matrices

M 0 0 0 1 Q,n 0 M 0 O0 ni A2,n 0 0 0 M a1 An,n et HE 0 0 0 di,1 Ai,n U1 | GE 0 0 2,1 Un Ua | ci do . M a: Ann Un | sont égaux.

Mais le premier de ces nombres est évidemment égal à

2, "6,i;.,Ma,-:,4, RAT a, MNT... Les... 88 - 1" ea... 8) = (M, €) X (M, €) X ; X (M,e»)=C,

et le second de ces nombres est pour la même raison — Fr. La première partie du théorème est ainsi démontrée. Pour obtenir le nombre des solutions dans le cas C=F, il suffit de rappeler que, par une substitution de déterminant + 1

n Li — > di,kVk;

et, en remplaçant les équations (1) par des combinaisons convenables, on peut obtenir un système équivalent de la forme

eV; = fi (mod M).

Or le nombre des solutions de ce dernier système est évidemment He XML ex . X(M,24—-€.

Il est à remarquer que »: —(M, si) divise c; =(M, es), car &; divise e.. La condition C=T exige donc qu’on ait co —. er 2 32. On peut donner au théorème XIT une autre forme en supposant décomposé en facteurs premiers le module M.

Soient u, ax, ax les exposants des plus hautes puissances d’un nombre premier p, qui divisent respectivement M, dx, dx. Alors on a

(A) - . . . an—an-12=24n-1 —@n-22... 24 — Gr; (2) . . . . an—an-124n-1 —Qn 22... 20 — Go;

(4) . ou ee à Gk— x 124% — 4x1,

car nous savons que les rapports Ex+1!0k, Ek+1Ek, Àk'Ôk, Ek°Ek sont des entiers.

La condition (dn, dn1M, dn-2 M2,..., M") =(ôn, ôn-1 M, ôn—2 M?, ..., M")

devient maintenant pour chaque nombre premier p qui divise M

(5) (pr, p° n1 T4 pan-2t2k ee ,D"4) = (p°7», ptn-ith, pan-2 24, ie sprl

Supposons que, dans la série (2), le premier terme plus petit que soit a,—a,,; alors la relation (5), qui exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les congruences admettent une solution pour le module p#, devient

et le nombre des solutions est alors pts+(#-0)#, C'est ce que l’on trouvera par une discussion facile en s’aidant des inégalités (1), (2), (3), (4).

D’après cela, si l’on avait u > ay —ay 1, la condition devient a,—=û» et le nombre des solutions est p%». Ainsi, dans ce cas, il suffisait de calculer d, et ô:.

On voit facilement que si, dans la série

An—An=An—1—An-12... 24 —a 20,

ax — ax est le premier terme égal à zéro, p**+1-—4x est la plus haute puissance de p pour laquelle, comme module, le système des congruences admet des solutions.

C'est seulement pour préciser les idées que nous avons supposée au n° 31 que le déterminant d, du système (1) n’était pas nul.

Et aussi, à proprement parler, ce n’est pas là une restriction, car, en ajoutant des multiples de M aux coefficients, on peut toujours faire en sorte qu'il en soit ainsi.

Mais la plus légère attention suffit pour reconnaître que le théorème XII est général et reste vrai même dans le cas où l’on aurait dp+1=0, à condition seulement de se conformer à notre convention de prendre dans ce cas

Ep+1=lp43—=... —=en—=0,

et de même pour les invariants de la matrice complétée

33. Considérons maintenant le système Qi,1 Li + Gi,2%0 +... +; min min = Ui (mod M) = 2 on) Désignons comme au n° 31 par d; Ô;

ei —= LG i— 1

di-1?

les invariants de la matrice complétée, puis posons Ci =(M,e), Yi—=(M, ci), C=C,Cg..Cn) = yo... Yn

La condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait des solutions est alors encore Cr

mais le nombre des solutions est C X M". En effet, on obtient un

système équivalent ei vi=fi (mod M), il soucis M

et Un+t1, Un+2 +) Un+m restent arbitraires.