BX

rt/i pourra immédiatement obtenir <I>, en faisant dans o, e// premier lieu :

To =(aô-pY)^a-+-P^)''-'»

T/ = ( aS — Py ) ( a H- PO^-î-'Cy -4- 8G)'. T„i = (il - Py) (r H- oG)»-»,

.«0115 /a condition qu^après les développements on i*emplace ts' par Ç|, de manière à parvenir à des expressions linéaires en

ç^. ç,, , G«2 ; ^ti second lieu, et pour ce qui concerne T, la

rttleur n substituer se déduira de la relation

= /* A C -H ( /» — I j B Go -+- ( /» — 2) G (ri -+- .

.-+-2GG„-,-+-Ht5„,.

On remarquera la liaison qu'établit cette proposition entre les «Ifiix j»roupes d'indéterminées To, T|, . . ., T,|2, ^oî ^i> • • •? ^/i-a? H le rôle entièrement séparé de rindélerminéeT. Ces relations (ii), indépendantes des coefficients «, 6, . . ., ^, A, représentent préri- NéiiH-nt ce que ^^. Sylvester a nommé une substitution congredirntt' a>ec la substitution binaire

••l Ir sens qu'on doit attacher à celte expression se trouvera nelteiiM'iil fix«* par celte proposition :

Ih'signons respectivement par ^ et (S) les substitutions ()) ^t \ iw si l'on obtietit S en composant deux substitutions analoiiues S', S", fie sorte qu'on ait

3j or 0 VUES BK CHAHLES Hl^ltMtTE-

ia sitbstitiitian (S) sera de même composre *te deux antres^ et, si l'un rept ésenie par (S') et (S") ies suùsfùuiions déduites de S' et S", d'après ta même loi que (S) de S, on aura la relation

De là résulli? que toute fonction des quaiUitits 1*,, 1^:^^ ■••^ Pm îiidé pendante de T^ par exemple toutes ies fanetions symétrlqueii des différences des racines j^, seront^ par rapporta Ta, T^,.,,, '^u-iy

des CD va riants de la fonction homogène Y^fi - ) • Telles seront en particulier les quantités

(n — ù Ff— /liPf, {n -- i) { n — i)V\ ^ *\ ni n — a)Pïp3-^ 3/iM*,, cle>

qui jouent le principal rôle dans les recherclies que j^espère pouvoir bientôt coiniiinuiquer à T \ca demie sur la réduction de Féqualioa du ciuqiiiètae degré à la forme oluenue par M* Jerrard. Mais, en ce moment, c^est aux équations du quatrième degré que je vais ;q)pliqiier ces considérations, aGn de les réduire à la forme

jr^ — 6S^' — 8T^ — lS» = o,

et par la d'en conclure les expressions de leurs raeint's au mojen

des fonctions elliptif|ue!^. Je me fo riderai a cel effet sur cette re* marque que, dans celle équation, couime celles de lu théorie des fooctious elliptiques auxquelles elle a été comparée, savoir :

l'invariant quadratique est nul. Or toute équation du quatrième degré

où I on suppose cette quantité

I = AÏ!:-4BD-^:iC* = n.

devient, en y remplaçant .a? par — j— t

arv fH RI ^- AC) 31^^ ^ 4 ( A» D ~ i AB€ -*- a B^) j^ 3( B» ^ AC )» = o;

THÉORÈMES d'aLGÈBRE ET ÉQUATION DU QUATRIÉMl*: DEGRÉ. 35

ce qui est bien la forme de récjiialion (4). Klanl donc proposée Téquation générale

ax^ -+- 4 ^-a^' -^ 6cT' -^ \ dx -h e = o,

essayons de déterminer la substitution

y = o(ar) = aT -h ax

To -f- aar» I T| -4- ax^ H- 1 bx r\- 4 bx'

-T-Gc I -\-%cx

(le manière que, dans la transformée que nous écrirons ainsi

r^ -H 4 \\y^ -f- <>Pîj'= H- 4 Ps^' -+- P* = o,

l'invariant quadratique soit égal à zéro. On devra j)oser

P4-4PiP3-h3Pî = o,

relation du quatrième degré par rapport à To, T|,Ta \ mais, ce (jui Justifie précisément le mode de réduction que nous avons en vue, cVst qu'elle se décompose en deux facteurs, de sorte (|u'en posant

f = aTJ 4- 4cT} -4- ^T| 4- 4^iT, H- acTu'T, -T- 4^ToT,,

\ •= ae — ^bd -\- ^c',

J = ace -\- 'ibcd — nd^ — eb^ — c',

on aura l'une ou l'autre de ces équations du second degré seulement

K^ /g J - -== /P--27J*-) (ToT, - Tf ) = o.

On pourra donc, et d'une infinité de manières, en s*adjoignant de simples racines carrées, déterminer une substitution qui ramène toute équation de quatrième degré à l'équation (4), dont les racines ont été exprimées parles fonctions elliptiques. Et l'on remarquera que f est bien un covariant de la forme

/ = ax"" -h 4 bx^y -+- Gcx*^* -i- 4 dxy^ -4- ey'*,

(mi\%i:'S DE cil Alites il ^it il tri

rar cette quanlilé peut s'obtenir en rem plaidant, dans Texpretision

El ^ ,4, -j Ex, '1 . ï î îl- ,

jr^j xy^ y^ triiiic part, ;-, ;r,, /,- d** raiitre, respectivement jjar T^, Tj, T^: d'ailleurs I et S sont les deux irivarîiiiils cL 1^ — ujJ- îc iliscriininant,

Mais il est une autre uq nation que présente la théorie de la transformation du troisièjne ordre et à laquelle on pourrait, par

une substitution de la forme r =s — ■ — Ç, ramener éeaJement toute

équation du f[uatrirme degré* Soit^ en f;énéiaL [)ourun ordre quelconque II,

U - t/JF, Y - t/>T:

eu partant des expresî»ions données dans les Fttttdamenitt piKir )^ et X', et d'où Ton tire

^\%\ eiHwnnii^^'m cnaiïiîia,

'"in ('fia tin n

A a m itu. AûJti j m^

. , Aiitn ! n -- I HO

le l*. Jouliert a fait ta remanpie im|Ku1aiile cjue les fonrtions rat i o nti elles sj' 11 1 é t r i i j ue s d t^s il î v p r se s \ a I e u l's l1 e \' c 1 11 i c o r r e s p o n d e îU a toutes les déterminations de tii^ ne dépendent que du produit du module par son eoiuplémenl, de sorte qu'il existe entre V et U une équation de degré n -h 1* analogue pour plusieurs propriétés essriitielles (^ * ) H IV-quatiou modulaire rntre %' et u. I*ar eiteuiple, pour u ^=3, /( ^ 5, /t ^ y, le calcul l'il^rlué par le 1*, Jouhert dornu' les relations

Vi ; un 3 + <ï uv -h U* = t»,

yo i(iU» V- ^ t5 U» V* -h I 'jU^ V» -h 4 ^'V ^ U» == o. V« G.iU? V' -f- 7.48U«V« — 7,96 ll»V* -h 7,94 U>V^

— 748 U3 V^ -4- 7. 1 JtUn * — HUV H- U» ^ o.

C'est la prcmién' (|uî pourrait servira robjet<|ue nous indiquons; mais je me bornerai* eu terminant celte Note, à montrer qu'elle donne nu unnvel exemple tie ce rapproelirmrnl ijue j'ai essayé de

THÊOAÉIIES D*ALGàBRE ET ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ. 3;

Une ressortir, entre la théorie de la transformation pour le troisième ordre et celle des formes cubiques à trois indéterminées. Effectivement, le paramètre / qui figure dans la transformée canonique

T^ -h y^ -h z^ ■■■- (\/xjz

«If'pend des invariants S et T, ou plutôt de S cl S| par rc(|uation

Or il suffit, en introduisant une seule indéterminée, de poser I = z\ pour la ramènera la relation entre V et U. De là résulte •pi'en prenant pour module

ft {Misant, pour abréger,

•»ri a ces expressions des trois (piantilés o, A et /, savoir :

- sin^aniQ ^ i /^ i -4- cos* iuii » , S Aamo

sin'roams •>, sm'am'v S| sincoams

l>an> ces formules ni et m' peuvent être pris égaux à deux nombres ♦•ntiers quelconques, pourvu qu'on ne les suppose pas en mémo it'inps nuls ou divisibles par 3.

SUR

On roruunl loule riniporlrHirr d;uis h ihvovie tivs rquationît algtM>rK[(ics Jo cette furicliuii îles (M>efjit ifutîîi ù liiijuellc a tHé lionne lu uoiiï de dhcrimitian!^ el qui représente le protinïL symétrique ïlrs earrés dcs^ diUVuM^nr**^ des racines, \iissi les s^^'om êtres <mt-ils recherché* surlouL d^JH ces derniers temps, les mélhudes 1rs plus propres i\ en abréger h* calcul. Mais^ dans les applications i\ uïic éqiiulioii donnée, ces méthodes générales sont le plus soii- \ent jmpi'aLicahles en raison dt*s opérations laborieuses qu elles rvigeiiL. C'est cette difficulté qui in\% l<tn^tiMups arrêté |iour former la réduite du (m%ieaie Jegi'é de réqualiuu modulaire du doussîéme, la iVïriclion des racines *[ue jai employée poui" eirectuer ^abai^senlellt conduisant dans tes truis cas du siïiéiuc, du hiir- Ijcnne el du flouKième degré a calculer le discriniinanl de ces (.équations, .î'ai donc essaye dY*ludier en général le discriminant des éf plat ion s niodutaires, en prenant pour [loint de départ les citpressions de?» racines sous fonue transrcudante, dans respérance iFarriver a \n\ calcul ipii pùl f^lre efl'eelné au moins dans le cas ipie j^avais en vue, \\ suis cll'eclîveuienl |WM'vt*riu, el pu vu en même temps retle recherche * «juduire. par une voie aussi siuqde cpie naturelle, a d importanle> nolions arithmétiques et a des pruposi lions qu on ne trouvera pas, jV'spère, sans inlérél, sur les sommes Av nombres de classes de Ibrmes epiadraliqucs, dont les déterni inanls snivenl une certuine lot. M^ Kniiieekrr a déjà donné < la n s les Co n fp tes / e n dus fit* / ' A en dvn t //* dr Bei -tin ( séane e d ii

39 octobre 1837) les énoncés de plusieurs beaux théorèmes de «elte nature; ceux que je vais établir dans cette Note et qui, si je ne me trompe, tiennent à d'autres principes, contribueront, je pense, avec les propositions dues à cet illustre géomètre, à jeter uo nouveau jour sur une des plus importantes théories de l'Arithinétique, en la rattachant par de nouveaux liens à l'Algèbre et à l'Analyse transcendante.

Soit n un nombre premier et B(i', u) = o Téquation modulaire de degré /i + i ; en faisant, pour abréger, e = f - j > on trouve très aisément que le produit des carrés des différences des nicines v^ prises deux à deux, et que je désignerai par D, a la forme suivante :

D = W-^^ ( f — «•)'»-^8(rt^^ ax M» -4- «i M»« -h . . . -i- «v M*^),

le poh"nome «0+ ^1 w*-l- ... étant réciproque, c'est-à-dire que ai=^a^i^ et ne contenant ni le facteur u, ni le facteur 1 — w"; quant au nombre v, il a pour valeur

Cela |)Osé, je vais en premier lieu établir que D est un carré parfait. Je me fonderai pour cela sur la relation importante donnée par Jacobi. entre le multiplicateur IVI, le module proposé et !e module transformé, savoir :

En posant

■ X(.-).') dA n X(i-A'> d).

Je sorte qu'où ait, en vertu de l'équation modulaire.

du 0(>, u)

dv ~ ^ S"(r, M)'

cette relation, si l'on introduit u et v au lieu de ^'/r et yOv, deviendra

D'ailleurs, les valeurs correspondantes de v et d«î M sont, comme on sait,

ç = M'*[sin coamsp sin coam 4p... sin coam( n i )p |.

- - -5-rsin coam 20 sin coam 4 p . . . sin coam (/* — i)o1*

"~ y sin aniup sinam4p • . • sin am( /i — 1)5 J

de sorte qu'en faisant

K iK' K-+-1K (/i -i)K-i iK'

'nu n n

on obtiendra simultanément les n 4- i valeurs de M et les n H- i racines i^o^ ^1» •••? ^'/* de l'équation modulaire. Or les équations entre M et A* ont pour coefficients des fonctions entières de /»*, celui de la plus haute puissance de M étant Tunilé, et le dernier la con-

stante numérique -^ 9 de manière que le multiplicateur ne

peut jamais devenir nul ou infini pour une valeur finie de A*. Cette propriété importante, qui est due au P. Joubert, montre que les valeurs de r et //, qui satisfont à Téquation modulaire et à sa dérivée 0(t', //) = o, annulent nécessairement aussi le dénominateur de M et, par suile, 3(i', m), si l'on exclut les cas limites, // =0, ^/'*=i, auxquels correspondent, comme on sait, i'==o, r*=i. Cette restriction faite, on peut conclure que toutes les autres solutions simultanées des équations 0(i\ </) = (), 6(i%w) = o sonl <loubles; elles annulent, en eirel, la délerminante fonctionnelle

d^ dd

dSdO Q^^« du' dv ~~ du

dv ' du

<ar, à cause de l'équation 0 = o, celle déterminante contient le facteur 27(i', u). C'est dire que lous les facteurs du discriminant, autres <pie //et 1 — //", y entrent au carré, d'où résulte que le polynôme a ^f -r cf t u* -h -- -•> qni ne contient pas ces facteurs et, par suite, le discriminant lui-même, est un carré parfait. A la \érilé pourrait-on demander en toute ri*jueiir de démontrer qu'il

THÉORIE DKS ÉQUATIONS MODULAIRES. il

ne renferme pas de facteurs triples ou élevés à une puissance impaire. Mais ce point sera lui-même complètement établi plus tard, à Taide d'une remarque que je dois encore placer ici. Multiplions membre à membre les /i + i équations qu'on déduit de la relation

en y remplaçant successivement \f par toutes les racines de l'équation modulaire. Comme le produit des valeurs de M est di - » on trouvera, en employant, pour abréger, le signe de multiplication II,

L — ' llp(i — 0») UO(v, u)

fit ■" /i/«-<-» M«-»-i^, ,^«^/i»i 'n^(t., U)'

Mais on sait que

IIP = ea"^-»; on en conclut ( • ) (pie

et il vient par conséquent

Or, au signe près, 06 (r, u) est le discriminant, et cette relation montre qu'on peut le considérer comme provenant de l'éliminalion de c, entre les écpiations

la seconde étant la dérivée -t^« Cela posé, faisons le changement de V en //, et de u en sr; d'après une propriété fondamentale de> r(|uati<uis modulaires, 0 ne changera pas, -^ = o deviendra par ronsécjuenl -j^ = o, et le discriminant, lorsqu'on y aura mis er an lieu de //, représentera le résultat de Tel i mi nation de u entre les

ver les deux membres à la puissance huitième, les racines v^^ Vy^ ... étant ainsi devenues : \ i — i'J, \ i — i'J, etc.

4'^ iCUVRKS DK CIIARI.K8 UERIIITE.

équations

Mais, D ne ronlenanl que dos puissances paires de i/, ce changement reviendra à écrire la lettre v au lieu de w, d'où cette conséquence que l'ensemble des valeurs égales des racines Voj <^'i, ..., Vft, ne diffère pas de la série des valeurs de // qui font acquérir à l'équation modulaire ces valeurs égales.

Après avoir établi que le discriminant est un carré parfait* ce qui permel «l'écrire désormais

si Ton pose

0 ( f/ ) rrr (tf^ -^ O i U^ -^- ...-{- Oy H

nous introduirons la transcendante dont j'ai donné ailleurs (*) la définition et les propriétés fondamentales, en faisant

et c'est ainsi (pie nous parviendrons si représenter explicitement tout(»s les racines du polynôme 0(^/), en donnant pour chacune d'elles la valeur de (o. Le caractère principal de ces valeurs consiste» en ce qu'elles scmt Tune des racines toujours imaginaires, celle où le coefficient de i (^) est positif, d'équations du second degré à coefficients entiers, et que nous désignerons de cette manière :

(a) Peu*-*- viQu) -i- R =- (».

Nous allons donner le moyen d'obtenir toutes ces équations en les

(') Comptes rendus, i858, p. 5ii.

(-) Peut être n'cst-il pas inulile, pour cviicr loutc anibiguUé, de dire que la quanlité i dont il est question est précisément relie qui figure dans l'expression analYti(|nc de 9(»«>) uù elle a élé introduite en posant </ = «•'**.

TllÉORIB DK8 EQUATIONS MODULAIRES. 4^

déduisant de certaines classes de formes quadratiques de déterminant négatif, mais il est d^abord nécessaire, à l'égard de cette dépendance que nous établissons entre les équations et les classes, d*indiquer la proposition suivante :

V toutes les classes qui ont même déterminant ou seulement à certains ordres correspondront toujours, sauf deux exceptions dont il sera question plus bas, soit deux groupes, soit six groupes de huit équations, telles, que dans un même groupe toutes les équalioQS se déduisent de l'une d'elles, en y remplaçant eu par M-f-2m, le nombre m étant pris suivant le module 8. De sorte que, si Ton veut avoir seulement les valeurs distinctes de ©*( w), «•n ne conservera qu'une forme de chaque groupe, alors et sous celle condition correspondront à chaque classe deux ou six équations (a).

Désignons dans le premier cas par

l'une des équations, l'autre s'en déduira en y remplaçant o) par » et il en résultera deux valeurs C3( (o) et — ; — - qui seront deux