SUR QUELQUES THÉORÈMES D'ALGÈBRE

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVI. i858 (I), p. 961.

On sait que loule équation /(x) = o peut être transformée en une autre du méine degré en ^ par la substitution ^=cp(:r), oùcpj? désigne une fonction rationnelle. Ce procédé de transformation ^ qui est si fréquemment employé en Algèbre, va nous servir pour ramener Téquation générale du quatrième degré aux équations particulières qui ont été considérées dans un précédent article, et dont j'ai exprimé les racines au moyen des fonctions elliptiques. Mais, en raison de son importance, et notamment de son application à la résolution de l'équation du cinquième degré, ce mode de transformation m'a paru demander une étude nouvelle, et je commencerai d'abord par en donner les résultats.

Soit

f{x) = ax" H- bx'*"^ -h . . . -+- gx^ -h /i J7 -h X* = o

V équation proposée; l* expression la plus générale de ox sern,. comme on le sait y une fonction entière du degré n — 1 , savoir :

0{X) = / -h toX -h tiX^ -^. . .-+- /„,J7«->.

Cela posé, en représentant la transformée en^ par y" -+- />! r'*~' -^ pty"-'^ -4- . . . -h ;d« = o,

Tuu quelconque des coefficients, tel que/?/, sera une fraction ayant pourdénominaleura^"""*^',et pour numérateur une fonction entière^

THÉOAÈIIES D'ALGBBHE ET ÉQUATION DU QUATRlÉMB DEGRÉ. 3l

homogène, de degré i par rapport à ^, /„? 'm • • •> '/î*2j et de de*^rë rt — 1)1 par rapport aux coefficients a, 6, . . ., A, k. Ce degré si t\t\é rend en quelque sorte impraticable le calcul de Téquation en/; aussi ce qui a été obtenu Je plus important par la considération de celte transformée, en particulier le théorème de M. Jerrard sur l'équation du cinquième degré, ne semble établi qu'à titre de possibilité, en raison de l'excessive complication des opérations nécessaires pour parvenir à un résultat eflectif. Mais on peut surmonter ces difficultés par la proposition suivante :

Soit

/o = aTo -h 6T, -+- . . .-h ^T«,,

Cetie substitution effectuée dans la fonction pi la changera en une fonction Pi du même degré par rapport aux indéterminées nouvelles T, T©, T,, . . ., T„2, mais débarrassée de tout dénominateur, et du degré i seulement par rapport aux coefficients a, 6, . . , A, k. De plus, P„ sera divisible par a, de sorte que - Pj, ne sera que du degré n — i par rapport à ces coefficients.

Celte proposition, très facile à établir, conduit à la véritable forme analytique qu'il est convenable de donner à la fonction ©(j;-), «le sorte que désormais la formule de transformation sera ainsi repn-sentée :

- hx ■ c

♦*l IVqualion transformée par

loij> les roeflicienls étant des fonctions entières de ceux de f \,Ji)-

(.ne autre conséquence résulte encore de l'introduction des

xiiridbles T, To, T|, '''/i^n-2' On sait de combien de travaux a

C£i;Vlli:§ DE CUAJll.Kâ iiekmite.

étérobjet la ihéorîedes fonctions lioinogènésàdcux indélerniinëes, et combien de nouons anal y tiques i m portantes cette étude a don nées à FAlgèbre. Par exemple, ces fonctions désignées sous le nomd'invarifintSj en raison même de la propriété qui leur sert de dé tinîtion, de se reproduire dans toutes les transformées par des substitutions linéaires, donnent les éléinciits qui caractérisent les propriétés essentielles des racines des équations algébriques, cellet qui subsistent dans ces diverses transformées (*), D'autre part, 1* connaissance acquise de ces fonctions, et de celles qu'on nomme' covarianfjtf permet^ dans beaucoup de circonstances, d^obtenir sans eflorts le résultat de longs calculs qui, sans leur emploi immédiat, n'eussent au fond servi qu*â les mettre en évidence, ou à faire ressortir dans une question spéciale Tune des propriétés dont on possède maintenant la signification la |^lus étendue. Mais tant de beaux résultats^ dont la Science est surtout redevable aux travaux des savants géomètres anglais MM. Cayley et Sylvester, semblent ne pouvoir être utilisés lorsqu'on sort de la comparaison des équations par des substitutions linéaires de la forme

aXH-3

au bî'

pour considérer, comme nous le faisons ici, les substitutions les plus générales. Eflectivement, aucunr^ combinaison rationnelle des , coefficients p\^ p^^ ' ' ' ? pn ne fait apparaître les cova riants de fl Téquation proposée; uïius, comme nous allons voir, il arrive que ces quantités se manifestent, au contraire, immédiatement par l'in^ troduction des variables T, To, T|, -.., Tii a. C'est ce qui résulte de la proposition suivante : |

Soit I

F(X) ^ (yX ^ Ë)v(''xlf) ^ ^^"^ "^ BX«-i + , . ,^ HX ^ K = o l(t t/anx/ormt^e pnr fa subsiitntion (t) de Véquatfon proposée^

(*) Fiir ciumptef tr^s conditions qui déiermÎDent le nombre des racines réelles et îrtiiiginaires^ dans le» équa ligna k cûefUci vrais rérls dépendent tiniqneETient des in varia nts« suuf le cas du qudinènie degré. J'ai dantié ces condi lions, indépendamment du tliéorème de M< Slurm, p{>uf ]e» équalion!^ du cinquième degrés dans un Mémoire sur la tliéoric des fo ridions liomagènesâ deux îndéteriuioées. (Camtridge and Dut Un niatheinallcat Journai, «inuée i354-)