I -1- (W «U I — to (U

\ ces six valeurs de tu répondent six groupes de huit racines du polymmie ^(//), qu'on obliendra par les relations

I I çp8(''>) Cp»(u)) — I

«•=&»(a*>, — T j I— ç»(cu), — — » —-^ » i — —

©•( eo) ^ ' I — ç*(w) ?*(««) — I o*(w)

<^^uant aux cas d'exception à ces règles, ils concernent les classes déri\ées de ces deux formes (i, o, i ) et (2, 1, 2). On rencontre le> premières lorsque, le nombre premier n étant r^ 1 (mod 4)? <>" p^ul faire

Selon qu'elles présentent les caractères propres aux formes qui

fournissent deux ou six équations, on n'en doit prendre qu'une

seule, savoir :

to' — •;►, 10 -t- -2 = o,

d'où

ou bien les trois suivantes :

co'-h I =-. o,

CO* 2 0) -f- 2 = o,

•2(0*-+- 'JHù -\- l = o,

d'où

10 = «, <p' ( to ) = - ,

to = I H- «', «p» ( to ) = — I ,

Le premier ras a lieu lorsque h est impair ou impairement pair, et le second lorsque b est divisible par 4 dans l'équation

IjCS classes dérivées de (2, 1, 2) s'offrent lorsque

et toujours a\ec les caractères propres aux formes qui fournissent six équations. Mais on en doit prendre seulement deux, qui sont

to' -H 10 -t- I = o, 10' — (O -i- I = o,

cl, (|uant aux valeurs de 'f (<•>) qu'elles déterminent, elles dépendeni

de Téquation

Ainsi le facteur ^z" — //«-f- i se présentera dans le polynôme 6(// ) pour n = 7, i3, h), elc.

Ces préliminaires établis, nous arri\ons à la formation même des équations en (o. A cet effet, nous considérerons deux séries de déterminants, les uns donnés par l'expression

les autres par celle-ci :

A'=: Ho(/i-— 80),

en attribuant à o loutes les >aleiirs en nombre évidemment fmi i|ui !«•> rendent positives, et nous aurons les propositions sui- \4inles :

Première série : A = ( 8 0 — 3n){n — 20).

Pour A EEi I ( niod4 ), loutes les classes de déterminants — A |n.'u\enl cire représentées par des formes (P, (^, R), où Q est im|^ir et U iinpairement pair. Ces formes fourniront deux équaliuns, dont le type sera précisément

P(o«-i-/Qio - H = o.

Pimr A ^£1 — I (mod4), les seules classes de Tordre improprenM*nl primitif ou dérivées d'ordres improprement primitifs pourn»iii être représentées de même; les autres seront exclues, et clia- • un«* des premières fournira deux ou six équations, suivant qu'on .111 ni Izh. — I ou .'i(mod8).

Deuxième série : A'= 80 (/i — 80).

Pour o impair, on exclut les classes où les trois coeflicients sont iii\i^ible^ par 2 ; toutes les autres fournissent chacune deux équations.

Si o est pair, on prend sans exception toutes les classes de (lèt«Tminants — A', et c'est alors seulement (|u'on rencontre les ^'n>upes de classes auxquelles correspondent six équations. Le [•rfuiier de ces jj:roupes se présente lorsque 0 ^h — 2/^(mod8) ; il f>l composé de toutes les classes dont les coefficients sont divimUps par /(, et qui, ce facteur supprimé, constituent Tordre iiiipropremeni primitif, ainsi que les dérivés cTordres impropre-

iiifnt primitifs ( ' ;, de déterminant -• Le second est donné

|Mr les valeurs «le o qui sont multiples de 8, et il est composé de

iMule> les classes d<mt les coefficients sont divisibles par 8. L'une

«{uelconque de ces classes, auxquelles correspondent six équa-

lii»ns, étant désij^née par ( P, (^, R), conduit iuimédialemenl à

Cell** réunion d'ordre» qui >c |)ré«icnlc dans Icn ticux séries de déterminants r-urrait C'irr app<*l»*c simplement le groupe improprement primitif; ce sérail «ib«i l'enscMible dos riasscs ( \, B, C), où B est ini|)air, A el C pairs, ces trois Offiibrr^ pouvant aroir d'ailleurs un diviseur impair quelconque.

4ry

Véqimllmi type

or.rvttf!;3 tm ciimtes nËrnwfTK.

iQiii -h K = o;

mais pour les uutie!^, riuiit^ijelles corieâ ponde ni deux ëquiitioiiâ| el qu'on peul représenter ainsi :

p étant i^*A ou {? ^t \, B^ C n'étant plus à la fois divisibles par 2, îl sera toujours possible de déduire de (A, B, O une transformée (P, Q, R) où ï* esl impair, R pair, et 1 é(]uaUon en tù sera encore

L ne observalion essentielle doit èire enfin jointe aux propriétés précédentes : c'est que^ dans la série des équations dont nous! devons donner la forma tîtm^ janiais on n'obtiendra deux fois la méme^ si l'on a égard a ce qui a été précédeiniuenl liit rtdalive-J ment aux classes dérivées des formes (i, o, i) et (a^ 1^2). La coo« sidératinn des formes réduites permet de le démontrer trts aisément, et il en résulte cette remarque qu'un nombre premier n'ai qu^une seule représenta lion dans le groupe des formes de méir iléterminant 011 le eoeflicîent moven est nid.

lEK

Plusieurs des résultats précédemment établis s'étendent aux équations plus {générales r|ui fournissent la relation entre les modules pour toutes les transformations des fonctions elliptiques. Ceux que je vais indiquer, en considérant pour Tordre delà transformation un nombre n impair sans diviseur carré, montreront* je pense^ Tintérét qui m'a attacbé à ces recbercbes, auxquelles j'espère donner par la suite de nouveaux développements. Dans ce cas, l'équation rationnelle entre ç :=^^A et h ==z ^/r est dWin degré égal a la sujutiie des diviseurs de «, et le premier |Voint que j'ai dû établir consiste en ce que, si ri>n pose «^^(ta), les ra* cines seront représentées ainsi :

/ a \ / oïij -i- I Tï m \

THKORIK DES KQUATIONS MODULAIRKS. 47

l el ô, étant deux diviseurs de /?, de sorte que n = 85|, m élant

pris suivant le module S| et ( :^) ayant la signification habituelle

relative aox nombres composés.

G>nsidérant ensuite le produit des carrés des didérences des ncines, j'ai trouvé qu'en le désignant toujours par D, on avait

ott N. N' et V sont des nombres entiers dont la détermination dépend des fonctions numériques suivantes, qui s'oflrent pour la première fois en analyse.

Soient 5 et 5' deux diviseurs de /i, tels que Ton ait

la première de ces fonctions sera la somme de toutes les quantités oo\ et je la désignerai ainsi :

Le seconde l'„ sera définie comme la précédente, mais en emplojaat seulement pour S et o' les diviseurs de n qui satisfont à la condition

Cela étant, si OXy et >7b' représentent la somme cl \v nombre des di\i$eurs de n, on aura

N = /i X' — X -{- 2 A„, N'= /iX'— 5X» -4- 2A;„ 4v = x«-X-N-4N'.

Ces quantités auxquelles conduit immédiatement le discriminant de Féquation modulaire montrent donc le premier emploi des fonctions A«, A^,, qui, si on les prend complètes, c'est-à-dire en intniduisant dans les sommes tous les diviseurs de /i, seront de la nature des fonctions numériques qui ont été récemment Tobjet de travaux importants de M. Liouville. Mais la limitation oo'<< n

f^ i Z, Z' ne peuvent élre pri;* égaux entre eux rt égaux à l'unilé.

Irar imprinif un caractère spdciiiil qui ra|>pi'ilc dans la llH^orié ties [luiiiJires la Udlion analytique âc par tir s dtf fonctions* Telle est encore celle expression de ht î^omme des diviseurs de «, moindres f|ue )Jn, dciïU M, Kronock^'r 11 iiionhx^ If^ prpjnier l'usage dans le Ijraii Iravail rjue jai d^^ja cite. Ht il semble jiiscprici que ce soit dans l'ëvalualioa des sommes de nomljces de classes de forme^i quadratiques, <lont les délertuitianls suîvenl certaines progressions do s-econd or<lrc, fpie ces Irois fouelionî* m^ Irouvent appelées à jtHjer leur principal n'de; mais, à cet égard, j*auraî surloul pour \n\l de faire ressorlir, dans le t as où n est premier, la liaison qui t*xîsle eutre le décret du disf riuiinanl et ces nombres de classes. IV>nr eebj il est itccessaire çpje je démonlre, eoiumejerai déjà annoncé H, que le discriminant ne contient pas rie facteurs luulliples autres cpte if i\i i — ti^, «loul le degré de jiniltipHcilé «ioil supÉ^rieur à deux.

ÏV,

IdCs valeurs de tt> |iar lesquelles les racines tlu dls^eriminaiit, en c^^ceptant // ^ o^ «n=^ i, ruiL elé exprimées ^un^ la forme

présentent ce caractère <pie deux r|uantitéâ ç(w), ^ (t«>') sont essenli(*llejnèiil ditVérentes i\u uionif^nt que tij et ttj' ne dépendent pas de la mèiue équation; eL il eu résulte, en premier lieu, que les valeurs communes que prennent respeetîvement deux racines de ré-cpiatinn modulaire pour it^^^iiù) et /(:r=s(tiV) ne pourroni nrKi [dus jamais étie égales, t]e point établi, jobserve ensuite que le déteruiinanl Q^ — l*R de l'éipiatiou

!' tu' H- K Q f ,> -h R ^ o étant résidu quadratique iIï* //, la eon^riience

P.r*— aU^" f- H — i> t uiMit« »

admet, si P n est pas luulllple du module^ deux solutions réelle?^

THEORIE DES ÉQUATIONS IJ CD U L A 1 11 KS . 4d

«|ri*il srra toujours possible de représenter par des nombres multiples de 1 6 :

(CD — a\ /(o — a' .

Kt dans le cas où l'on suppose P =: o (mod/^), la rongruence D'admettant plus qu'une solution x^ ix, on aurait IVgalité

Mais on peut toujours faire en sorle «l'exclure Tun <l<;s cas, de re«ilfr «lans le premier, par exemple, en liranl Tcqualion en co «l'une- forme quadratique (P, Q, R)oii P ne soit pas divisible par n. (Via posé, l'équation modulaire ne saurait présenter non plus,

ini\ précédentes; car jx" devrait nécessairement vérifier, ainsi <|ue ;jL et a', la congruence Pj7--h 2 Qj7 -h R ^^ <> (mod//), ce qui •^l impossible lorsqu'on suppose le module un nombre premier. Or. ayant démontré (pie les racines du discriminant ne différaient [•a* de l'ensemble des valeurs égales des racines t'o^ *'ii • • •? ^n^ de It-quation modulaire, nous concluons qu'il n'existe pas de fa(*ifiirs triples dans le discriminant, préciséuient de ee (|ue trois des (|uantités r», i'i, . . ., t'// ne peuvent jamais coïncider pour au( une \aleur finie de (o. Ayant donc fait

non

> pouvons regarder comme inégales lf)utes les racines de It-quation 0(//)-=o; (ît c'est la proposition que nous voulions • lablir afin d'arriver à celle-ci :

Pou F' lotit nombre premier /i, la somme r/rs nombres d^ê(jnatin/is fl/^rluiles des classes quadratiques de la première série 'Ir tirterminants — A, et de la seconde série de déterminants — A', est égale au degré du polynôme 0(//).