II. II

C»ltVliK«t lîK rîHBLlîït ItËRMITK,

<ll

triLs il)

lais eu consuM/ranl, pour |Uiis dr siinplirilr, los seuJe> fijiujlions qui ronmUisont des valeur^* liistiiicles cIl- '^*(ti>), nous jmuî

vous remplacer cet énoncé par le suivant

Scient ^i et ^^ /e-^ fi ombres tfe r/fissex ffr itt pn^mlrre sérr auxquelles corrrspondeni deux ou st\i' éqtifttioifs^ t*^ t'I i*., it'.s* rftfft n i ti es a n a lu g a es tlan s la seeo n de série ^ on u n / 'a en lenrtffi compte des e lasses dvri\*ées de (i^ o^ ij et {^^ t^ '2) Irt relatiun

'*( 7j — ÎT', ) -h tî( ^î -i- (To > = ■** =

Tel eâl doiu^ l<' ihéorèmc, cssemïelloitienl limiu* jusipru'i ati cas où n est premir-r, (jiie nous allons vérifier piir un cerhiin nombre d'ex toupies, t*n donnant pour rliacun d'eux la série ih> /■([Uîihon? v%\ (t>* ee qui vu nous roiidiiirr en me rue l«'nijis à [iréseuter des applieiLtions des diverses rrjrles éiiuiieL^riï préeédcatuieiil pour la forniation de ces équations.

V cet elTel, j'emploierai pour uhreger lu nota lion suivante : ( A, Bj C) élaiit une forme quelconque» je poserai

(C, — B, Â) = < A. B, iUu (A, — A-f-B, A — îiBh-G) = (A,B. Ci,.

Il deviendra possible ainsi de raltaelier iuiuN-dialemenl les équU' lions aux formes réduites, par lesquelles il convient daulutit ntieuv de représenter les dusses, qu'on id>tiemlra de la sorte les eoenîcienls tes plus simples et les valeurs de to pour lesquelles* les séries elliptiques présentent la pluis grande eonvergence. Eflectivemeut, si Ton se borne aux équations qui Iburnissent des valeurs distinctes de '^"(to), ou même à la seule étpiatioii tvpe < voye? Comptes rend as j p, c).|^i et JJ 11 du jji*ésent Méuioire )^ elle sera toujours Tune de celles-ci :

T1IE0R1K DKS EQUATIONS MODULAIRES. 31

lf> iiidrleriniuëes x et y étant remplacées par w et i , et (A, B, G) t-lAiit une forme réduite. Je conviendrai enfin de les designer seulement par leurs premiers membres et de représenter respectivement par S et S', pour la première et la seconde série de délermiiiaiit>. les sommes de nombres d'équations donnant des valeurs «iistinctes pour ^"(o>), de sorte que la relation que nous nous [»roposons de \érifier sera

Ola posi', voici, en commençant par les cas les plus simples, les résultats que l'on obtient :

\jc nombre v se réduit à zéro, ^{u) est une constante, et le disfriiiiinant de l'équation modulaire m* — v^'\-'xuv{\ — u^v'^)^=o^ »oM que le donne facilement le calcul direct, est

1^ première série de déterminants fournit la seule valeur A = i , don la classe (i, o, i), qui par exception donne au lieu de deux rqiiations une seule, (i, o, 1)3. La seconde série de déterminants nViiste pas, et Ton obtient simplement

1^ première série existe seule et donne A = 3, d'où les deux dd^>es (I, o, .'5 ), (2, I, 2). Mais on ne doit employer que la classe inipn»prcment primitive, qui, par exception encore, au lieu de six ««piations, \\Qi\ donne que deux, dont le type est (2, 1, 2). La va- ^iir D est

OEUVRES DE CHARLES lIERlIlTfi.

« = II, «j = lO.

La première série donne A= 7, et la classe improprement primitive (2, I, 4)» ^1 où l'équation lype (2, 1, 4)i« On a donc S = 'a. Dans la deuxième série A'= 24? '-t 1 <>iï obtient les quatre équations tjpes :

de sorte que 2'= 8, S-i-S'= 10.

On verra dans un prochain article comment on parvient ensuite à l'expression ( * ) :

D = //>»(l — ll«)>0(ir) — 3lM»-r-l()M>«)î

X (I — Soi 9GoM*-f- 3 )5o 49'"'® — '-* ï?^ aSii/-'» — 1 oya o'JiGa" — '}. 178 y^y. /i^o-f- 3 j5o /|9?.m^»— 3')i \)^\ou*^-\- a^^)-.

Pour les valeurs plus j»;randes de /i, je résumerai les résultats dans le Tableau suivant :

(') Lo calcul fail par M. Bourgel nous a amenés à modilicr (|uelqiics-uns des coofficionls luimériqiios donnés par Ilcrmilc. h), P.

THÉORIE DES EQUATIONS MODULAIRES.

rRKXlÊIIK SKRIE.

DEUXIÈME SÈniE.

(i,o,4o)(5,o, 8)(4,2,ii),

Am3

A = ij

(i,o,88)(8,o.ii\(4.2, 23),(8,4, i3),

Ai^ 21

(7,o.i6)(4,2,29),(ii,3,ii)5(8,'|,i6)

A' = I -îo

(i, 0, 208) (2, 0, ïo\) (4, 0, 52) (8, 0, 26),

(i3,o. iG)

OGtJVAKs DK r:tiA»i.i:s ilea.mite.

Une conât'qiieûce iiïïporlanLe des résultais précédemment expc ses €onsUte en ce que toutes les valeurs de K*=i:ç"(tii) qui font acquérir des racines doubles a réqualion modulaire^ représentent également fies iTitidules de fondions eltipliques pour lesquelleïï a lieu la mu! ti pi ira lion complexe. Nous a vous vu en elFel que la quantité (■> dépendait de la relation

(A, B, C) étant une forme quadratique de déterminant négatif, ce qui est préeisémenl le caractère essentiel de €es modules. Je vais donc présenler à Tégard des équaliims algébriques qui servent à les déterminer les remarques auxquelles j'ai été uaLurcltemcnt amené par les recherches précédentes, et qui serviront de complément aux théort?ines fondamentaux déjà donnés sur ce sujet par M. Kronecker,

Voici d'abord un choix particulier dont je conviendrai pour les formes destinées à représenter les diverses classes quadratiques qui a|)[>arLiennent au même déterminant. En désignant ces fonues jjar (Aj B, C) et faisant A= AC — U^, je supposerai, ce quî est toujours possible, que C soil pair et A impair, de sorte que dans le groupe proprement primitif {*) on aura, suivant que

B et ' G inipairii;

A ^ 1 ( mad 4 )f à = ■i(mod4)f 1 = — I (mod t), B impair et C multiple de 4-

B pair et - C impair;

Kn second lieu, cl pour ce qui concerne le groupe improprement primitif, il ne sera posé aucune condition lorsque A ^ î (mod 8) ; mais, dans le cas de A = — i ( mod 8), nous prendrons C tm|>airemeut pair. Les formes ainsi choisies, et que nous garderons désormais pour représenter les classes, jouissent decetle pro-

(I) Comptes tendtii^ p. g47 ^^ S ' ^^ pr^^eiu ^lé moire.

TIIÉOHIK DES ÉQUATIONS MODULAIRES. 55

j»ri«'lê de conserver les mêmes caractères dans toutes leurs transfoniirt^s par des substitutions au déterminant ///«, jc = aX -h ^Y, K— yV-i-oY, où j3 est pair, a et o impairs. Cela posé, si Ton «Irlrrinine o on faisant

• A, B. C) représentant successivement toutes les classes du groupe (iropremenl primitif et de même déterminant — A, les diverses quantités x = ?*(to) seront racines d'une équation qui sera réci- |>roque, dont le degré sera double du nombre des classes et dont les coeflîcients seront entiers, en supposant celui de la puissance ïd plus élevée de x égal à l'unité.

tn second lieu, et à l'égard du groupe improprement primitif, «•n obtiendra comme précédemment une équation réciproque dont If iïe^prv sera encore le double du nombre des classes, mais avec fine puissance de 2 pour coeflîcient du premier terme lorsque A— — I (mod 8). Enfin, si Ton suppose A ^ 3 (mod 8), le degré M'ra nÎx fois le nombre des classes, et tous les coefficienls entiers, relui du premier terme étant l'uni te.

\ oici maintenant la méthode par laquelle on peut obtenir ces équations dans tous les cas.

r.onvenons. pour mettre en évidence le délcrminant des formes •lUddratiqiies dont elles dépendent principalement, de les désigner

l'^ (j\ A) = o lorsque Ai— i ( inoil î ), F,< .r, A ) = o lorsque A - ^(mod \ ),

le ;:rou(>e proprement primitif existant seul pour ces deux déterminants. Dans les cas suivants, ce sont les équations qui répondent .•ii\ formes du groupe improprement primitif qu'il convient de « •»n>idérer, et nous les désignerons par

,T,(:r, Al — n lorsque A n= 3 (mod 8), ,Tj(.r. A)r=o lorsque A e-= — i(inod8).

*^la po-ié, soit Bi i", li ) --^ o Téipiation modulaire pour la transfor-

in.uion qui se rapporte à un nombre impair/? quelconque. Enjoignant à cette équation celles-ci :

inZ= Xy

c»n en déduira quatre équations en .r, dont les premiers membres présenteront cette propriété remarquable d'être le produit de facteurs qui seront respectivement de la forme :

F| « j-, A » ' / 2 /i — I . a /i — 9, 2 /i — ai, ... ,

Fs(.r, A. / ^ ^ ^ \

F^l-r, Aif 12/1, 2/1 — i, 2n — ifi, ...,

^ A u\ai)t tes \ulcur$ <

■j" .Ti(>, A» i

4" .r ri J,(r, A) '

Il en résulte que les poljnomes Vt{x, A\ l'a^^, A), ef i (x, A), .^2(x, A) s'obtiennent en déterminant le plus grand commun diviscMir entre les premiers membres de deux des équations que nous \enons déconsidérer, et répondant à deux valeurs de/î, qui seront surcessiNement :

z et ;:' èlani impairs; z et p' étant pairs;

- . A-hs^ , . . .

Jo — - — 9 ;-^— , 5 Cl z étant impairs;

p et p étant impairs.

N'oici ensuite comment, sans cbanger leurdej^ré, on déduira des deux équations J», {x, 1) =rz o, fîjl''* -^^ = o, qui se rapportent au j;roupe improprement primitif, celles ipii correspondent au groupe proprement primitif. Dans les deux cas on calculera d'abord la

lran>formée de ilegré sous-doublc en :: =:: - ( ^ -h '.i -J — ■ ) » puis on

TIIÉOHIK DES ECLATIONS H O D L L A ] » Eft . S7

fPtmpiScer^ 5 par { '^' ) ? ^^ q^i! ramènera au degr*^ primitif {*)* Eotiii. pour passer des éqoaùoiis rcblives ati dëlerminnnl — Ait cellrs qui conrernenl le dêlerminiint — fi, tm fera dans Téqua- Ijdii qui apparltenl au groupe proprement primilif de formes de tlclertiiinanl ^ A la siibstiLulîoa

si Von représenle les classes de dêlerminaiit — 4-^» dont 1l\s t% termes ne î^unl pas pairs en même temps ^ par des formes • \, B, Cl, où C soit pair, A impair, en posant

iV Ui' + 2 B W -4- C = o,

l^r» quantités s^uii) seront précisément les racines de l'équation cnjr. Elle est d 'ni Heurs évidemment d'un de;^ré double de Téquiilîon en j", de m Ame que le nombre des classes de tlé termina ni — 4A^ 4uut il vient ti'élrc rpjestion^ est double du nombre des classrs de déterminant — A* L'application plusieurs fois répétée rc procédi^ suffirait à donner les équations qui se rapportent déiermînùnls multiples d'une puissance de 4* Mais ici il conmnt de tliâlitiguer ceux qui sont le quadruple d'un nombre impair de eeii^ qui sont multiples de 8. C^ast aux premiers que f*9ppl]qiie spécialement la méthode qui vient d'être indiquée; et dfin'iid^-int les équations L|ui leur correspondent seront désignées par FsiT. A)=^D, En représentant par F((^, A) = o celles qui cxmcemr-tit b*s déterminants mubîples de H, on a en efl'et cette puifinsition que le premier membre de Téquatioii vi\ ^ qui résulter

pi I

ëii', n ) = o , u*= — t «* = jr ,

ic it ceux qui ont été considérés tout à F heure, est le pn»dyit de faclçurs de la forme F^(.r, A), A prenant la suite tics valeur» .<(/î — i )* 4< '* — {}}t i(^ — ^^)^ etc. Je n^insiste pïis eu ce fooatrnf Atir les conséquences a déduire dp !ii, non [dus que sur

(*} Ce caleyl présente, A regard de Téqualion ^^(j^^ à) = a« la cjreonstânct féiMf^naltU que li* roerfifrient de b puîssai^ce la ptufi dlevt^e de x^ qui élitit une J^iiHÉorf dr i, devient duns réijiiiition Irsufi^formi^e L'gal a riiniti^*

0^. Oe IVRES DE CHARLES H ERMITE.

rxr<'|)lions cî-dcssus nienlionnées de A = i, A==2. S'il se réduit à deux, a sera un nombre entier, qu^on pourra calculer comme il suit :

1" A — I (inod fi).

Les deux classes sont alors représentées par les formes réduites

ri la première donne l'équation

(I, o, A), = o, d'où

II suffit donc d'exprimer que

(x -^ t y* -\- (xar(.r — i)2 = o a liru pour

ce (pii donne, en faisant </ = e'^^,

i6a = — ( — r-io4-4-î 372 9^ -{-96aj6<7' -4-, . . |, et par suite comme, d'après la valeur de co, q = — e'"'^^^

Or depuis A = 9, on peut se borner aux deux premiers termes de cette suite, et, si l'on désigne par a le nombre entier immédiatement supérieur à c'^^^, on aura exactement

a — io4

Les déterminants, qui ne donnent ainsi que deux classes dans

Tordre primitif et auxquels on pourra appliquer cette formule,

sont

— 5, — <), — r3, — 25, —37, etc.

Par la mctiiode algébrique indiquée dans un précédent article

TIIKORIK DES ÉOLATIONS MODULAIRKS. ù'i

' voyez Comptes rendus, l. XLVIII, p. io()7 el § Vil du présenl Mémoire), on obtient les résultats suivants que Temploi de la formule pourra servir à vérifier, savoir :

{JT-^l)'* — V.'l^T (X — I)* — o A=i3,

(jr -•- i)» -~ ').'i^.jL'x(jr — i)« = o A = a3.

■i* 1 -r'i { mod 4 ).

I^sdeux classes, qu'on suppose seules exister, sont représentées |ur les formes

u Id première correspond la valeur

M = i v^A, «I où

el. tout à fait comme précédemment, on est conduit à l'expression i(»a = — ( e'^v^ -H loî -^ ^—^ — h ^ = -^... ).

Kn désignant encore par a le nomljre entier immédiatcMnent supérieur à e^\^-^, on aura la formule

a -T- lo-î

•|iii >fra applicable à partir de A = lo.

L«»s déterminants qui ne fournissent que deux classes dans Tordre primitif seront

— r», — lo, — i8, — viv»., — jS, eic;

•i on les joint aux précédents, ainsi qu'à ceux dont il a déjà été 'pitf^slion à propos du poljnome .f i (j?. A), on aura autant de ras fïéïia lesquels la quantité e"^^^ approche d'autant plus d'un nombre '^nfierque A sera plus grand; ainsi, par exemple, dans la quantité rr.\/Tê la partie décimale commence par neuf chiffres égaux à 9.

Oî OeUVHËS DE CHARLES UBRllITE.

V^oici les équations auxquelles on parvient, comme on va le voir, par la méthode algébrique générale, savoir :

(jr-M)^ — 3*.2^J7 (;r — i)« = o A= Ck

(x-^i)^ — )'.2'..r (X — I )« = o A = lo,

{X -hi)'* — I i'.'i*.2*.i.( J" — I)* = o A = 1?..

On remarquera que le coeffîcicnl numérique — a est toujours un carré divisible par A, sauf le cas du déterminant — i8, le seul <[ui, n'étant pas le double d'un nombre premier, ne renferme cependant que deux classes dans Tordre primitif. Alais, lorsqu'on a A^ I (mod4)) c'est la quantité a+ i(i qui contient A en facteur lorsqu'il est un nombre premier, et le quotient — - — se présente toujours comme égal à un carré. La même circonstance se remarque dans les équations

à l'égard de la quantité /\7. -\- 2r (*), qui est également le produit de A par un carré, lorsque A est un nombre premier.

Le calcul des polynômes F|(x, A) et Fo(j7, A) repose, comme il a été dit, sur la formation de l'équation qui résulte du système

e(t', ii) = o, u^ = -^

(«) L'idontilê /, [{X- — X -r- ly -\- aL{x' — X)-] = { J J7' - 3 j:- — 3 J7 -h i )= 4- ( 'i a -I- 1^7 ){x' — x)*

en inontrr l*uri;^inc et donne en même temps une résolution facile des ê(|ualioDS ^^{x, A) — O, lorsqu'elles sont du 6* degré.

( iiiod ^4 ),

7/Jt