LÀ THÉORIE DES FORMES CUBIQUES

A TliOlS INDÉTERMINÉES.

Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1" série, t. III, i858, p. 3;.

L'élude des fonc tiens homogènes du troisième degré et à troi*

iinlélenninées conduit à considérer avec une forme donnée de celte

e^[W»ce deux systèmes différents de fonctions qui s'en déduisent, et

•loin je rappellerai en premier lieu les expressions. Soit pour cela l;

la transformée canonique de la forme proposée, de sorte que

l'un ait

U = .r* -H yî -H 5' -h 6 Ixyz ;

le premier de ces systèmes sera celui des invariants et du covarianl (Mjl>ique, savoir :

S=— /-^ /•, T ^ I - 20/»— S/«, HÎJ = /«(j-»-h^r'H- -^) — (I -^'xl^)Tyz, II. — II. 1.

2 GKUVRES D-Ë CUARLKS UERMITE.

Le second système sera formé des deux contrevariants ou formes cubiques adjointes, savoir :

QU = (I — io/»)(a7» -^»-h -*) — 6/*( 5 -h 4/')xj5.

J'omets à dessein les covariants et formes adjointes d'un degré supérieur au troisième, n'ayant pas à m'en occuper ici, et j'observe seulement que les combinaisons linéaires

aU-GpHU, 6aPU-4- PQU,

où a et ^ sont des constantes indéterminées, représentent encore, la première un covariant et la seconde une forme adjointe de U. On en 'peut conclure que les invariants du quatrième et du sixième ordre de ces deux fonctions, que nous désignerons avec M. Cayley de celte manière : .

S( aU -uG^lll),

S(()aPU-T- PQU),

T( aU -^G^HU),

T(6aPU-T- ^QU),

doivent reproduire des combinaisons rationnelles des invariants primitifs S et T. C'est effectivement ce que ce savant géomètre a mis en évidence en donnant dans les Tables qui terminent son troisième Mémoire sur les quantics les expressions complètement développées de ces quatre quantités. En cherchant à approfondir la nature de ces expressions, j'ai été conduit à un résultat intéressant, non seulement parce qu'il en montre le véritable caractère, mais parce qu'il donne un nouvel exemple de cette étroite connexion entre les formes cubiques à trois indéterminées et les formes biquadratiques binaires, que M. Hesse et M. Aronhold ont les premiers signalée dans leurs belles recherches. Mais je dois rappeler d'abord qu'en représentant une forme binaire du quatrième degré par

f = ax'* - \ bx^y -¥- i\cx^y^ -r- 4 dxj'^ -h ey'*^ OU a, pour les -covariants des degrés quatrième et sixième, ces

THÊORIK DBS FORMES CUBIQUES A TROIS INDÉTERMINÉES. 3

r\|H"essions

^ = (ac — 6* )x^ -H j. ( ad - bc)x^y -{- iae -^ ibd —Z c^)x^y^

-h 'À{he — cd)xy^-^ (ce — rf*)j'*, A= («*</— 3rt6c-h vi6*;x«

-+- (a*e -H labd — v^ac*-¥- ^b^c)x^y

-^{'jabe — i5acd-{- iob*d)x^y^

-^{— load^-h iob*e)x^y*

-4- ( — 5ade -h l'ibce — lo bd^)x^y^

-h { — ac * — a Me -h 9 c* c — Gcd^)xy^ '

-h (— Ae*-+- 3cde — >.rf»)^«.

Gîla posé, je considère la forme biquadratique suivante en a et p, ^a\oir :

el '^i l'on en déduit, d'après les formules qui viennent d'être rapporlées, les deux co variants ^ et A, on aura ces formules remarquables, *ii\oir :

S(aU-f-6pHU) = - -^g,

T(aU-f-r)SHU) = --A, 64 S»( a U H- 6^ HU ) - T«(aU -h G^HU ) = ( 64 S» - T*)/».

Soit en second lieu

/r= 48Sa*-H 8X2-1 |â — 96S53[*p«—ji4TSa^»—(T*-hi6SV)flS on obtiendra d'une manière toute semblable

S(6aPU-hfiQU)rr-— 1^,

TM)al>U-T-pQU) = — f /t,

64S»(6aPU -i- ;iQU) — T«(63tPU -+- fjQUj = (6',S'- TV)*/'-

<x'> deux formes / du quatrième degré que nous avons employées ''iH«e5>i\**inent ont d'ailleurs entre elles cette liaison singulière *jiie, si l'on dési[i:ne par /*, A'\ k" ^ k'" les racines de ré(|ualion

X*— liSj-*— HTj-— i8S»=o,

les racines de l'autre forme, c'est-à-dire de Téquation

48Sj-*-+- 8Tx»— 96S*xî — •24TSx — (T«-+- ,6s« > = o,

seront

Je reviendrai sur ce point dans un prochain travail, où je me propose d'établir entre autres choses ceti^e proposition qu'il existe toujours une substitution linéaire réelle pour réduire toute forme cubique donnée à coefficients réels à l'expression canonique

La même chose n'a pas lieu, comme on sait, ni pour les formes biquadratiques^ ni pour les formes cubiques à deux indéterminées.