SUR LA RÉSOLUTION

Comptes rendus de l^ Académie des Sciences, t. XLVI, i858 (I), p. 5o8.

On sait que Téquation générale du cinquième degré peut être

rdinenée, par une substitution dont les coefficients se déterminent

MUS employer d'autres irrationnalités que des radicaux carrés et

cubiques, à la forme

xi — jr — a = o.

Ce résultat remarquable, dû au géomètre anglais M. Jerrard, est le pas le plus important qui ait été fait dans la théorie algébrique des équations du cinquième degré, depuis qu'Abel a démontré qu'il était impossible de les résoudre par radicaux. Celte imp4»ssibilité manifeste en effet la nécessité d'introduire quelque élément analytique nouveau dans la recherche de la solution, el, à ire titre, il semble naturel de prendre comme auxiliaire les rarines de Téquation si simple dont nous venons de parler. Toutefoi-i, pour légitimer véritablement son emploi comme élément <?!»s-ntiel de la résolution de l'équation générale, il restait à \oir si cette simplicité de forme permettait effectivement d'arriver à quelque notion sur la nature de ses racines, de manière 'é saisir ce qu'il y a de propre et d'essentiel dans le mode d'existPDire de ces quantités, dont on ne sait jusqu'ici rien autre chose, >i re n'est qu'elles ne s'expriment point par radicaux. Or il est bien remarquable que l'équation de M. Jerrard se prête avec la pluà grande facilité à cette recherche, et soit m(^me, dans le sens que nous allons expliquer, susceptible d'une véritable résolution

CE Lî VA ES t>£ CHARLES H E H M I T K .

analytique. On peut en elTet concevoir la question de la réî*olulion des équalions algébriques sous un point de vuedîflTérenl de ealui qui depuis longtemps a été îndiqui^ par la résolution des équations des quatre premiers degrés, et auquel on s'est surtout attaché. Au lieu de chercher à représenter par une formule raili* cale à déterminations multiples le sjsLéme des racines si étroitement liées en Ire elles lorsqu*on les considère comme fonctions des coeHicientSi ou peut, ainsi que l'exemple en a été donné dans le troisième degré, chercher, en introduisant des variables auxiliaires, à oblenir les racines séparé tuent exprimées par autant de fonclîons distinctes et uniformes relatives à ces nouvelles variables. Dans le cas dont nous venons de parler, où il s'agit de Téquation

j*' — Ix H- ta = o,

il suflii, comme on sail, de représenter le coeHicient a par le sinus d'un arc % pour que les racines se séparent en ces trois fonctions bien déterminées

a sin *j a î?iii —

Or c'est un fail tout semblable que nous avons à exposer relativement à l'équation

iT^ ^ X

Seulement, au lieu des sinus ou cosinus, ce sont les transcendantes elliptiques qu'il sera nécessaire d'iatrofluire^ et nous allons en premier lieu en rappeler les défmilions.

Soient K. et K' les périodes de Tintégrale elliptique

c'esl-à-dire

v/t — X* *itîl*S>

et

rimol

la racine quatrième du mudule et de sun complémeat sVxprim au mojen de ç pir ces fonctions dont Jacobi a fait la découverlCi

ABSOLUTION DE L EQUATION DU CINQUIEME DEfîRE.

savoir :

Vi = ^iVç'-'';-t"'C^- ■ -^^-V9

'/ — 9* — 7*—..- •^ îmim+ll i(}m>-l-mi

Q\m'-^ini

^ / I yn (Êtm*-*-m

Vf— l)*" 7*"**

~~ I — f.fjf'-^Ktf^— •>.(J^ ' — 9.7" — ...

En posa ni

nous désignerons \/A' par 'f (w) et y/ A"' par '}(«*>). Relalivemcnl à relie variable co, on aura ainsi des fonctions afTranchies de l'amhi- ;:uîti* qui lient au facteur ^7, et dont je vais en peu de mots indiquer les propriétés fondamentales. Elles découlent des relations

.suivantes, dont la démonstration est immédiate, savoir :

^ 9 (Cl))

^(wj

On en déduit que o( ^ ) ^^ ^ {' 7~") s'expriment simplement en ^(w) et ^(w), a, 6, c, rf étant des nombres entiers quelconques assujettis à la seule condition

ad — bc = i.

Les relations auxquelles on parvient de la sorte ayant une grande in»portance, non seulement pour l'objet que nous avons présentement en vue, mais pour la théorie des fonctions elliptiques et ses applications à Farithmétique, je vais les indiquer en me bornant, pour abréger, aux valeurs de o (- — ^j • J'observe à cet effet que

la congruence

ad — hc ^ \ { inod 'x )

est susceptible de six solutions distinctes renfermées dans ce Tableau :