A = AC — B

Or CCS expressions, fonctions de B seulement, ont elles-mêmes des maxima qu'on détermine en observant que, d'après la propriété caractéristique des formes réduites, B^ ne peut surpasser |A, et c'est précisément à celle valeur limite que correspond le maximum de 6c, et il en sera de même pour ad dont la dérivée, par rapport à B, admet pour racine B- = J A. De là se tirent les conditions

Pour la limite de bc, le coefficient numérique est, comme l'on voit, m(»indre que celui de M, Arndt {Archives de Grunert, année i8.>8, p. 337^. De la même manière on trouverait encore

i (C6»- Ao») = ac» — é/^3 < 4^.

9^3 OKIVRBS D£ CHARLES IIERMITE.

La nnUh(»do précédente ne s'applique pas immédiatement aux formes cubiques de déterminant positif, car il serait difficile de former les relations enlre a el d d'une part, h et c de Tautre, et les coefficients de la forme réduite (P, Q, R). C'est cependant au fond le même principe (|ue je vais encore employer. Kn premier lieu, je remarque qu'on a les relations suivantes :

AU — 7BQ-: <:!» = o,

de sorti» qu'à Têtard des coefficients A, B, G, il sera possible d'opérer exactement comme ci-dessus. Ainsi on formera enlre A et C l'équation

RJ A» -4- >( PR — ^Qî) AC -r- Pî(:2 = 4Q2( l>R - Q« ),

<|ui donnera pour le maximum de AC la valeur

PR — Qi = D:

el <rune manière analogue s'obtiendra, pour le maximum de B-, la (juantité PR, et l'on parviendra aux limitations

AC < D, B2 < i D.

Pour arriver maintenant aux coefficients de la forme cubicpie, j(; me fonderai sur l'égalité

d'oii je tirerai, en égalant dans les deux membres les coefficients de x^y^^

^\}{ad H- 9^c) = — j B» — 1 5 QB^ -r- '\ DB -\- i j DQ -^ 20 Q»,

t»t ensuite, en employant la relation bc — ad =z B,

4 Dad = — B^ — 3QB« — 3 DB -h '{ DQ -f- 4 0\ 4 0/>c = B3 — JQB*-+- DB :-3DQ. -4Q\

FORMES CUBIQUES A DEUX INDËT KRMINEËS. 97

On \oit inainienanl qu*on peut facilement obtenir les maxima

de ctd et bc en fonction de P, Q, R; le maximum de ad est donné

par la \aleur limite

B« = PR = D -h Q«,

les racines de la dérivée étant imaginaires è cause de la relation c'est l'expression

Pour bc il existe deux maxima qui correspondent à

B = - Q -^ i/i D -h Q« et B = v/PR = v/t> -h Q«,

savoir :

1>Q-^Q'^(|D-^Q')/^D-^Q- Q3^QVDTQi

Maintenant il ne reste plus qu'à chercher de nouveau les maxima ♦li: ces expressions, qui seront évidemment donnés en remplaçant Q par sa limite supérieure y/^ D. En choisissant pour bc le maximum maximorum, on parvient aux limitations

«^<l/'gl>. f^c<

j T joindrai

ad-^ \bc<i/^^ D, ac^ — db^^ — ^ D, y VI ' 6v/3

dont la dernière s'obtient par celte équation

i y/\iiac^ — db^) = v/D — B2-hQï(D — B« 4- /, Oî).

J'arrive iiiaiutenant uu point le plus important dans la théorie •le l;i réduction, à la recherche des conditions caractéristiques pour l^s formes réduites. Ces conditions V lii :>.Q > o, Il — V > o, se H. - II. 7

CiUVAES DE CHARLES UERMITE.

ffi-

présentent en eliel sous forme irrationnelle par rapport aux coe cienU ûj 6, t% d^ et il s'agit d'en déduire des relations absolumeut équi%aleiiteé, mais rationnelles. JVbserveà cet elTet queFequation du troisième degré dont dépend la forme ^, savoir :

4*}.» ^ lô»| --^ q1 — D/î = o,

a, comme la forme cubique fi^x^y)^ une racine réelle et deux imaginaires conjuguées* Or^ en nommant P', Q'j R' et P'', Q*, R^ les détenninauls iui;r^inaires conjugués de P, <^), R cl posant £^=±i, oïl pourra remplacer les inégalités proposées par celles-ci :

( Ph- -^éQ) ( PV -i eQ' ) (P'-I- itq") > o, ( H - P) ( R — P') {K^ P*! > o ;

et alors les [îremlers membres étant des fonctions symétriques des racines de la forme /'(^, ^) pourront s'exprimer ratioanellement en a^ Ik r, d. Le calcul auquel on est ainsi conduit s'eflectue aîsément si Ton observe que 'h — o est uu carré, et qu'en faisant i — ^ o ::== y-, les trois valeurs de 7 sont données par l'équation

De la sorte un parvient au résultat suivant :

Les t'ond liions nécessaires et s avisantes pour qu'une Jorme

cubique

de déierminani positif D soit réduite sont

Ou peut^ en introduisaol le eovariant cubique

l> \ifir ffy dy dûpj

les présenter sous cette autre forme

F(i, o; 1^(1, li I -+- D/n , o)/( 1, -it) > o, F(i, ijF(— I, i)-hD/(i, i)/("i,i)>o.

FORMES Cl BIQUES A DEUX INDÉTERMINÉES. 99

La question de la réduction des formes cubiques de déterminant positif est ainsi complètement résolue, et c'est l'objet que j'avais principalement en vue dans cette Note. Je la terminerai en indiquant un point de vue sous lequel on peut la rapprocher de la réduction des formes de déterminant négatif, où l'on se sert du covari^ut quadratique 9=: (A, B, C). A cet eflet, j'observe que le second covariant r{* = (P, Q, R) satisfaisant à l'équation

on en lire

Or, en posant

on reconnaît aisément que cette expression est de la forme

m(x — py)^ -h n(x — yy)^t

m et n ayant des valeurs essentiellement positives, de sorte que •} étant supposée réduite, o se trouve nécessairement dans le groupe de formes également nommées réduites, mais sous le point de vue pn»pre aux déterminants positifs. Et c'est le premier exemple d'une détermination spéciale pour l'une des formes de ce groupe, qui, >auf le cas des classes principales et ambiguës, se présentent toujours comme réunies, sans qu'il y ait lieu de faire entre elles aucune distinction. On peut donc dire, en dernière analyse, que loute i'orine cubique de déterminant positif ou négatif est définie coiume rf'duite en même temps que le covariant quadratique