I. — Proposition de Jacobi

En désignant par a cl b deux quantités dont le rapport soit réel et incommensurable, on sait par la théorie des fractions continues qu'il e>t possible d'approcher de j par une infinité de fractions

rationnelles — de manière à vérifier la condition n

a tu t b "^ n n*

t étant moindre que l'unité. De là on tire

na — mo = - — • n

Or une fonction avant pour périodes a el b ne changera pas en djiiulant à la variable une somme de multiples de très cpianlités par «Ir-* nombres entiers, telle que na — mb. Comme le nombre n jK*ul être pris aussi grand qu'on veut, sans (|uoi j ne serait pas

incommensurable, la nouvelle période na — nib = — peut être H. - II. î»

OifiVIlKg HK ClHAHLKft MPCftHlTI^.

rendue plus petiié ijue tfMile quanti h' dcmnée, el par Id nous recuniiinssoti!^ tU-ja qu'il ne p*^iil evisler de fonction doulileiiienl périodique où le rapporl des deuit pr*riodes sérail réel et inroinmensuralde.

C'est il cette m<^nie conclusioa d'une période infininun! petite, ou du moins dont le module est infini nient petit, 4pte oun^ allons parvenir en supposant trob périodes imaginaires :

ET ^ a -«- 5t' )/ — I ,

Je dis, en elfet, qu'on peut déterminer une inliniië de nombres entiers, m^n^ p^ tels que It^ module de am^ bn-^cp soit moindre que toute quanti té donnée.

Considérez fKiur cela la forme quadratique ternaire

où X est une quantité réelle arbitraire et dont le déterminant sera

Le minimum de f, potir défi valeurs cntifTes de^ indéterminées, aura, comme un sait, pour liuiile supérieure y^^'xL de sorte qu'en désij^nunt par m^ n^ p ces videurs, on aura

et, â plus forte raison,

S'il est donc impossible d'avoir à la fois

ou bien

a m H- An -*- cp t^ i^ c*est-a-dire si #/, 6, c sont trois périodes réellement distinctes, on

THéORIB DRS PONCTIONS ELLIPTIQUBS. l3l

recoonait que, X croissant, A peut devenir aussi petit qu'on veut et qu'on parvient à des périodes dont le module, ainsi que nous Tavons annoncé, est indéfiniment décroissant. Toutefois, nous :^upposons que le déterminant de la forme quadratique ne soit pas oui. Mais, dans ce cas particulier, au lieu de la forme ternaire, on considérera la forme binaire

(ax -H p^ )«-+-( a' a: -H P>)*

S<»us la condition ap' — ^a' = o, son déterminant sera — r-j — > el ne pourra jamais s'évanouir. Or, eu supposant que le minimum soit donné pour x = ni^ y ^= /i, on aura

fl a fortiori

(»m-+-3/i)'-h(a'm-Hp'/i}«<i/^^ ^^^ ^,

«]*• sorte qu'on pourra raisonner comme précédemment et parvenir

a une période am -h hn dont le module sera d'une petitesse arbi-

iwire. Ce ras particulier rentre d'ailleurs dans celui dont nous

nous domnies occupé en premier lieu, car la condition ap' — pa'=o

1 ^ OL -^ %' J — \ a . , 1 eipnme que le rapport = r est réel.