I.-2.3.4.5 tangjr
cl du fait même de la convergence des séries résulte qu'en les arrêtant à un terme suffisamment éloigné, les transcendantes se trouvent, avec autant d'approximation qu'on le \eut, remplacées par des polynômes et des fractions. Tout au contraire, les développements
arc sm x = x -^ •
arc tang x ^:^x -■ -\ — : ^-+-...
ne subsistent qu'en supposant la variable moindre que Tunitr, et l'assimilation approximative avec des polynômes n'est possible que dans un intervalle fort restreint. Enfin, et ceci est le point (|u'il importe surtout de remarquer, par une seule valeur donnée, soit de Texponentielle ou des fonctions circulaires, on en peut obtenir algébriquement ou même rationnellement une infinité d'autres. C'est ainsi qu'en trigonométrie rectiligne on calcule en partant de l'arc de i o' toutes les valeurs du sinus, du cosinus et de la tanjcnle qui figurent dans les Tables, propriété aussi remarquable qu'importante de ces fonctions, et qui découle des relations
e^-^y = e'.ey, sin (or H-^) = sin x cosj^ H- sin^ cosa^, co5(x -h y) = C08J7COSJ' — sina? sinj', tan«;ar -4- tangr
tang(jrH-^) =
I — taii«;x taiig^
1 u8 t«; t \ iti: s ïm i: u v h l lis il l ii m j t k .
dont les seconde uieiiibreâ soût composés algébrtijuemeaL avec le fouet joas relative si a riirgument x et h l^irgument ^. Ces méitiei propri^^tés nous 1rs trouverons dans les fonctions cllipliques dont elle?!i constilueiil les caractères les plus essentiels, et nous les résumeronïj en disant des uouvelles transcendantes, qn*e///^A' sont de^ fonciions unifortneï»^ è détcrmi nation unique, antjio^mfs à des fractions rai tonnelles, eiuxfptelies on peut tes assimiler avec tiîitani cV tipprttximalitïti ^ et dans une aussi jurande étendue qu'on le çeaf, des valeurs de la variable, et de plus que les fonctions relatives à lu nomme de de ter arguments x et y s'expritnent itlgéhriquement par les /onctions relatives it rargument s et à Vfirgunienl y^ Enfin, et de uièrne qu'à Texpouentielle et au sinus répondent les eî^pressions inverses, logj? et
aiT siii:r, ou bien / ^, / ,__> nous verrous, avec nue inJi*
nilé de détermina lions, s'oflVir roinine inverse des fonctions elli|i* tiques, l'intégrale d*une nature plus élevée
dj^
^{i — x^){i — k^.r*j ou la quantité placée sous le radical est du quatrième de^ré eu j*.
De la périodicité dans les fonctions circulaires et elliptiques.
Cette propriétc importante manifeste d'une manière tonte particulière la différence de nature des fonctions qui la possèdent avec les fonctions algehriques ralionnellesdonl nous les avons hnil îi l'heure ra[qjrochées, cl leur iuipritne leur caractcre le plus apparent en quelque sorte tic fonctions transcendautes. C'est d'ailleurs par la périodicité que les sinus et cosinus interviennent dans presque toutes les questions de Tanalyse, depuis les études qui ont pour objet les propriétés abstraites des nombres entiers, jusqu'aux applications du calcul à la Physique el à T Astronomie, \ussi est-il bien digne d'intérêt dVHudier a ce point de vue, dans la lonï;iîe chaîne des nouvelles transcendantes, celle qui s'olfre à son commencement et se joint immédiatement aux fonctions circulaires, les seules ronnues peuduEl si longtemps. C'est au début de leurs travaux qu^Abel
THKORIK DKS FONCTIONS ELLIPTIQUKS. 129
et Jacobî tirent simultanément la découverte capitale que les fonctions elliptiques possèdent deux périodes, une première qu'on peut toujours supposer réelle, et une autre qui est nécessairement imaginaire. Jacohi démontra, en outre, qu'une fonction unifonne d'une variable ne pouvait posséder plus de deux périodes, H M. LiouviUe après lui, embrassant dans toute sa généralité la théorie des fonctions doublement périodiques^ fit voir qu'elles se n*daisaient aux seules fonctions elliptiques, et mit hors de doute la prévision de Jacobi, que ces fonctions résumaient en elles tout ftr que pouvait présenter l'analyse à l'égard de la périodicité envi- >agée dans le sens le |)his étendu. Nous allons dans ce qui suit Duu> occuper du mode d'après lequel se manifeste analytiquement ce fait si remarquable de la double périodicité, en commençant par étudier sous ce double point de vue la périodicité simple dans les fonctions circulaires. Mais, en premier lieu et en raison de son cara«trre élémentaire et purement arithmétique, nous donnerons la ilénionstration de Jacobi sur l'impossibilité d'une] fonction à plus «le deux périodes.
