I -f- — ( ( r -h Mais les fonctions circulaires sont
susceptibles d'autres expressions où le caractère périodique apparaît tout aussi immédiatement qu'en Géométrie, et qu'il est d'autant plus intéressant d'étudier que d'elles-mêmes, par une généralisation facile, elles conduisent aux fonctions plus élevées qui possèdent deux périodes différentes. Pour premier exemple, je prendrai le développement en produit infini
sin^^ = 7rx(,-î)(,-J^)(i-.|)...,
qu'on peut considérer comme la limite, pour m infini, du polynôme
Or on voit tout de suite qu'on a
cp(:rH-i)=-cp(a')— -—
ce qui donne, en supposant m infini, ç(x -h i)= — ?(j?)î J'où l'on conclut sin(7rx -j-ir) = — sinir^, et en remplaçant 7r.r par Xj sin( X -t- ir) = — sin j?, et, par suite, sin (x -+• 27r) = sin jr.
Nous serons conduit à un second exemple, en prenant la dérivée logarithmique des deux membres de l'équation (i), savoir
7t cotrar = h
JP X — l X — 1 T — 3
X -h i a"-^-•2 x-i-3 En changeant j: en j™ 4- i , le second membre devient
THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. l33
eu par suite, se reproduit, car les fractions partielles n'ont fait ijue cbanger de place en s'avançant chacune d'un rang. C'est ici qu'on voit s'oflrir par une généralisation facile la manière suivante de représenter une fonction ayant pour période une quantité quelci>aque, à savoir :
^(t)o( X — a)(^{x — •2a)cp(j? — 3a)...
^{x-\-a}(^ix-^i/.i)<f(x-h 3a)...; o(x)-+-ç(^ — a) -h (Dix — '2a)-+-çp(j? — 3a)-H... -»-ç(j*-ha)-hcp(.T-h2a)-HG)(^-H3a)-h
1^ condition de convergence du produit ou de la série infinie e>t seule à remplir, et, si l'on peut y satisfaire en choisissant pour ^\x') une fonction qui soit elle-même périodique, on se trouve mené à l'expression d'une fonction à double période. Tel serait, par exemple, le développement
Il I I
*inj- sin(x—a) sin{x — 'j>a) aïnix — 'ia)
sin(x -\- a) sinix-h f.a) sin(x-h'Sa) *'*'
qui s'offre précisément dans la théorie des fonctions elliptiques, et qu'on prouvera facilement être convergent lorsque la quantité a >era imaginaire. Si l'on supposait^ réel, les termes successifs delà <érie ne tendant pas vers zéro, la divergence serait manifeste, ce qui s'accorde bien avec re qui a été dit précédemment de Timpos- »iLilité d'une fonction à deux périodes réelles.
Mais on peut ne pas employer riutermédiaiie d'une fonction d*^jii périodique, et parvenir à l'expression d'une série doublement pf'riodique par ce développement doublement infini
^ ç ( 0- -+- ma -t- nù ),
<i <-t A désignant les périodes, m et n des nombres entiers variables duiqueU on attribuera toutes les valeurs de — 3C à -j-oo. El de ni»^ine. au point de vue des produits infinis, une analogie immédidtt' conduit à envisager des expressions de la forme
\ ma -*- no/
lU
ruse ne CHAAt«s uirmith*
m et n recevant eiirore toutes les valeiirji entières, en n'exceptaot que la eonibinaison wï ^ o, /i ^ o. Mais l'éluile ap|jrotondie d< ces expressions a révélé une circonstance importiinte uulant t(u'&l sin^iilirre, M. Cayley, dans un Méinoit'f sur \vs> fond ions; doulileintvnt fïériodi(|ues publié dan:^ le Junrna/ de AI, Liûinrille^ l- X^j a fail vair que leur valeur dépendait essentiellenienl de la loi âuiviinll laquelle on fail cniîlre simiiUanëment jusqu'à Tinfîni les nombres m el fK Par exemple, ou oblienl une expression analytique parfailement définie el délenninétf, en adri>eltanL la condition que m el n soienl les coordonnées d'un point contenu dans rintérieur d'un cercle X' -hj^^ ^ R^ dont im augmente iudélininienl le rayon. Mais en remplaçant le cercle par une au Ire courbe^ ce sera une autre fonction qui s'olTrira à la limile, el au lieu de réaliser de la sorte des fonctions doublement périodiques^ qui se reproduisent en changeant r en x -^ a ci x ^ h^ on parvient à de*i fouctions qui se reproduisent multij^liées fiar un facteur exponmlicl. Ces fonctions présentent en eQel rélèmenl an<dvtique fonda mental sur lequel repose, comme nous le verrcms, loule la théorie des fonctions elliptiques. Mais un remarquera que la prévision fondée sur l'analogie des expressions
V ma H- rtP/
ne se trouve pas jusiilîée, et que les secondes ne sont pas précisément les fonctions a deux périodes, bien qu'elles en fournissent les élëmenls essentiels. Ne pouvant exposer dans toute leur étendue ces considéralions délicates el intéressantes, nous allons ton* lefois en donner Tidéc en nous bornant aux produits simplement infinis qui conduisent aux fonctions circulaires.
HL — Sur f*eTpres$ion I I j^ f i H- — )*
Le fait principal sur lequel nous voulnus appeler Ta tient ion consiste en ce que ce produit n'est périodique qu'autant qu'on
THÉORIK DKS FONCTIONS KLLIPTIQUES. l35
Tenvisage comme la limite déjà considc^rée, savoir :
(-7)(-f)-(-^)' [Kiur m infiniment grand. Faisons, en eilet,
et concevons qu'on augmente indéfiniment m et n en posant la
condition
m = (un,
(i> désignant une constante désignée à Tavance; nous allons montrer que pour n infini la limite de ^{x) dépend de w, et n'est périodique qu'en supposant (0 = 1.
Soit, pour abréger,
2111 1 = 1 h.. .H y x-\-ni X '^- 1 X -If- 'i J7 -H m
r»M|uation (i") donne, en prenant la dérivée logarithmique des H«*u\ membres,
"^{x) Jk^ X — n j^ X -h m Dr on a identi(|uement
^^ X — n J^-x—n n] J^ n J^ nx — n* Jk^ n
^ r — m J^ \ X + m m j ^à m Jk^ mx-^m^ JaM m de sorte qu'en faisant encore
l36 oeUVRKS DK CilARLKS HERMITE.
on peut écrire
el il s'agit «robtenir la limite du second membre lorsque m et n
croissent jusqu'à Tintini. Or les séries 7 ;> 7 r
sont Tune et l'autre convergentes, ont séparément des sommes finies et donnent lieu par conséquent à des limites parfaitement déterminées, où la condition m = w/i ne peut jouer un rôle. Mais il n'en est plus de même à l'égard des séries ^ — > ^""' dont les sommes croissent indéfiniment avec m et /i, d'où résulte que À se présente comme la différence indéterminée de deux infinis, et il s'agit d'en obtenir la valeur.
Nous représenterons à cet ettet, par une intégrale définie, la série - H h . . H ^ en partant de la relation
•-'il
x\>--^ dx = ^
On aura effectivement
-H h. ..H = / flx(l-h T '^, . .-h X'»-^) = I
dx
et il en résulte que la diflérence des deux séries semblables ^— » 2- s'exprime par
et il s'agit de trouver ce que donne cette intégrale en posant ni = iùn, et faisant n infiniment grand. On y parvient aisément par cette transformation très simple
On a, en effet,
r,i-iy-o-T
— / az
et, par eonséquenl, pour /i infini, Tintégrale bien connue
dz = / tu.
La quantité désignée par X, ayant ainsi pour valeur /w, ne s'évaoouît qu*en supposant o> = i , et, dans ce cas, l'équation (2) devient
et il est visible qu'on peut remplacer les deux séries infinies par rette seule série convergente
çijr) X X* — I X* — 4 * -a^* — f^*
dont la somme est ircotir-r. Mais, en général, et en laissant entre m et n le rapport arbitraire co, on aura
d'où
et. |var suite.
-^- = r colitx -H /to,
1 ax ■— = / sinTTar H- a:io) -H const.,
Celant une constante.
Ce résultat met en évidence le genre particulier d'indétermination que comporte l'expression iT-^f ' H ') ^^ pourra servira
faire comprendre le fait analogue relatif au produit doublement
infini I I -r( I H- j— ) dont la valeur générale s'obtient en
I 1. am -^ on I ^
multipliant par une exponentielle de la forme é?*-^*'^f*-^"^T une valeur
particulière, déterminée en définissant par une courbe, comme
ijoij> ra\ons dit plus haut, la loi suivant laquelle on associe les
nombre'* entiers m et /*, en les faisant croître indéfiniment.
Mai-i, sons un point de vue plus général, on peut se demander s'il
^xi-ite de» fonctions uniformes et entières qui aient deux périotles-
l38 (CU VR ES DK CHARLES HERMITE.
Tel est l'ol)jel de la proposition suivante due à M. Liouville, et dont l'illustre géomètre a fait la base d'une théorie complète des fonctions doublement périodiques (*).
