IV. — Proposition de M. Liouville
Elle consiste en ce que toute fonction uniforme f(-r), possédant deux périodes a et 6, se réduit nécessairement à une constante si elle ne devient infinie pour aucune valeur de la variable. Partons en effet de l'expression suivante, de toute fonction entière, uniforme, ayant pour période a, savoir :
La condition {{x -h 6) = f( .r) donnera l'égalité 2^X,ne " e " =2^X,„e
et, si l'on multiplie les deux membres par e " , on trouve, en intégrant entre les limites zéro et (t^
in h
On en conclut que \,westnul, car en supposant imaginaire, ainsi (|u'on le doit, le rapport des deux périodes -> on ne peut avoir
e " ^ I (|ue pour la seule valeur m = o. \.m devant être supposé nul pour toute valeur de m, sauf m = o, on voit que {{x) se réduit à la constante A^.
Cette proposition, aussi simple qu'importante, nous fait voir que les fonctions à deux périodes seront nécessairement des transcendantes fractionnaires; elle rend compte a priori des singula-
(') On pourra ron^iiillrr sur ce sujei l'Ouvrage de MM. Briot el Boui|uet, inlilulé : Théorie des fonctions douidement périodiques et en par tic ut ter des /onctions elliptiques, Paris, Mallel-liarfielier.
THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. iSq
rites que présente la nature des produits doublement infinis
ma -H nb >
et montre Fimpossibilité de donner pour origine aux fonctions à deux périodes Texpression plus générale
o(\r)ç(ar — rt) ç(jr — •ia)ff{x — 3a). . . ç ( j? -h a ) ç( ar -H 7. a I ç ( ar -+- *i « ) . . . ,
en prenant pour 3(07) une fonction périodique entière. Mais ces eipressions, si elles ne peuvent conduire aux fonctions à double fHrriode, nous amènent à celles qui leur servent de numérateur et de dénominateur, et c'est à ce moment qu'à proprement parler nous entrons dans Tétude des fonctions elliptiques.
Définition des fonctions O^r), H(^), leur expression en produits
et en séries.
Rien n'est plus important ni plus digne d'intérêt que l'étude iiUenti\e des procédés par lesquels, en partant des notions antérieurement acquises, ou parvient à la connaissance d'une fonction niMi\elle qui devient l'origine d'un nouvel ordre de notions analytiques, et un traité complet sur le sujet qui nous occupe ne devrait «•mettre aucune des méthodes (lécou\ cries et suivies à l'égard des fimrtions B(j::)et H(x). Mais ici nous n'eu indiquerons que deux, lit première se liant naturellement à ce qui précède, et la seconde 'levant nous permettre de donner un aperçu sur les fonctions analM;:iie^. mais à plusieurs variables et d'un ordre plus élevé, qu'on Tinminc fondions ahéliennes <ui nltra-elliptiques.
Première mcthnde.
Nous adopterons désormais les notations employées par Jarobi diin'i rimmortel Ouvrage intitulé : Fnndnmenta nova iheoriœ fiinctionum eAlipticaruni^ et nous représenterons les ({uantités qui ser\iront de périodes par K et /K', 1 désignant y/' — 1. (^ela
l4o OEUVRES DE CHARLES HERMITB.
posé, en désignanl par ^(x) une fonction entière ayant pour période 2K, nous considérerons, au lieu des expressions
çp(j')<p(ar— tK'/9(j' — 2«K')...
ff(x -h iW) 9(07 -h 21K'). ..,
que nous savons ne pouvoir servir à la définition d'une fonction entièrement déterminée, la suivante :
<l>(a7) = o(ar-htK')<p(jT-H:U*K')<p(j?-h5«K')...
ç( — x-h tK')«(— a?-h 3tK')(p( — x-h 5iK')
On aura d'abord
et l'on trouvera ensuite immédiatement
o(— j? — iK')
^(x -h 'liK') = *P{x)
Q{x -h iK')
On n'a donc pas ainsi une fonction doublement périodique, mais ce nouveau type d'expressions conduit, comme nous allons voir, à des fonctions parfaitement définies et déterminées.
Soit, par exemple, la fonction entière ayant 2 K pour période
tnao(ir) = 1 — e "^ ,
ce qui donnera
9(— .r — iK') __ ^ - Y'J'-^'K'»
o{x-hiK') "" En posant
q =z e ■*, on trouvera
o\x -h (xm -h i)/K') îpl — j? -H ("i/n -4- 1) «K'j
= I — '?.q^»»-^\ cos ^ -H ^*"«-^-«,
et, par suite,
^(x) = I I — -iiycos -^-h </*)
X ( I — 'JLÇ* COS -=^ -+- y*) ( ï — ^9* COS — -H y*® j
Or il suffit que le module de t/ soit inférieur à l'unité pour que
THBOBIB DBS PONCTIONS ELLIPTIQUBS. l4l
ce produit représente une fonction complètement défmie et déterminée, car la dérivée logarithmique donne cette série
yi — ayCOS „ -H 9* I — 2^' ces -j^ -4-^* I — 2^* ces -=T--|-^*<* /
qui. dans ce cas, est toujours convergente, quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de la variable x.
En introduisant en facteur une constante Â, nous poserons avec Jacobi
ou bien
^ / 1 K jr \ -,
0( j = A(l — 2^ ces 2 X -h 9*)
CV>t la première des fonctions que nous voulions définir; elle véniie les relations
qui servent de base à la théorie.
En second lieu, soit
on trouve immédiatement les relations toutes semblables aux pré- ^•«•dentes
^ Hix-^'iK) = — H(a:),
If.) "* K'
i U(x-^iiK')=^ — lUx)e"^^'"^' \ fi, pour l'expression développée, la formule
H ( ~ ) = A.2v^y sina7(i — Jtq* cos2a; -+- y*)
X (l— 2^* ces 237 -h y')(l — 2^* C0S2ar-h 7**). ...
C'est la seconde de nos fonctions fondamentales; en la divisant pjirla première, on obtient une fonction à double période, car, à
rji iHrviE-^OE'H^HLE^HElVlTE.
K>>d^i)ii>. «i'jprK-i ri-i^. .fe .lrtermia»^r A/» et B« par ia condition
h iiH:>i^aant la -j^tTôii-le pr-rii^-le. Fiisiat. p«.iur abréger.
ii \ieniira. en chassant les «irnomincttr^ur^.
et dans celte noii\elle »;;;alitr le< r.»et*ti«Ment? d'une même expo-
uenlielle e " devrnal être r^aiix. <.>r on reconnaît immédiatement que re?* coeflicienls seront les s^TÎes
de sr»rte qu'en mettant pour un instant ^i au lieu de m pour indice dan^» le terme ^énêrHl de la «»eci»nde. «»n <era conduit a cette égalité, qui de\ra ii\oir liru quel que <«oit ;jl :
Il pourra >eud»ler «liffîcile «le tirer de là le> fonctions inconnues A,„ el B,„ tians toutr leur j:én«'Talit«"*: aus>i nous borneronsnou> à chercher <'elte solution qui s'ortr#f d'elle-même, el qui eonsiste à obtenir l'é^idité «les série» en les rendant identiques, ^ious
poserons donc
\a^ B,„q^''» = Aj,„B„q=^-«,
el nous imaginerons (pie /* »oit exprimé en fonction de m, de manière cpir <*es <leu\ quant il<'*s puis>«*nl repré^enler en même temp» la s«''rie conq»léle des nombres entiers. C'est ce (|u'on ob-
THBORIB DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 1^5
tiendra en faisant
n = m -h ky
k rUnt entier, et après avoir écrit l'égalité précédente sous la forme
on trou\era ainsi
^\k-/tt ^fn-t-k
,^|i.-m-A)Aj,,„A. ■" q""B„/
Mais devant satisfaire, quel que soit [x, à cette condition, on ^K»urra poser
|jt — m — A* = nt\
m' étant entièrement indépendant de m. ce qui donnera
*l'i>ù l'on \oit que chaque membre est une quantité constante. Ainsi le> fonctions inconnues A,w et B/^sont deu\ solutions de cette itièiiie équation aux dillerences finies
— = const..
dont Tintégrale générale est
2 fiépendant de la constante du second membre, et Um devant vérifier la condition
Cette quantité [a peut être particularisée, comme on le voit, •ans restreindre la généi^lité du résultat, car 11 suffira pour la rftr».iu\er de changer dans la fonction x en x -{- ^; nous la suppo- ^^-rons égale à zéro, et nous prendrons pour A,„ et tim i^^ \aleurs «iii\antes :
A/„ = rt,„ q * .
B„i = b,n q ^ , H. — II. lo
l46 UKl'VRKS I>K CIIARI.K8 IIKRâlITE.
les (|iianlilés a,n el h m vérifiaiil les conditions
Ainsi en faisant
le c|iiotient ~ — sera l'expression d'une fonction doublement périodique, donnée par notre analyse, el il s'ag:it maintenant d'étudier de plus près res séries remarquables aux(|uelles nous sommes conduit pour le numérateur el le dénominateur.
En premier lieu et relativement à la convergence, si Ton suppose, comme nous TaNons fait déjà, le module de i| inférieur à Tunité, le nondjre entier k qui demeure arbitraire de\ra évidemment être pris positif; mais, celte condition admise, les deux séries considérées comme procédani sui\ant les puissances quadratiques de i| présenteront pour toutes les \aleurs réelles ou imaginaires delà variable la ccmvergencela pluj^ rapide, et dont aucun exemple n'a\ait encore élé donné en Analyse. En se(M)iid lieu et pour saisir de (|uelle manière se réalise la double pério(li(!ilé <lans le quotient, cbangeons.r en .r -j- //, par exemple, dans le numérateur. On trouvera
^{x -k- b ) = ^«,,1^ ^ OU bien
en ayant égard à la \aleur de 4j = ^» " . Mais dans le terme général il est permis de renq)lacer /// par m — A', puisque Tindice doit rece\oir toutes les valeurs entières — oo à -H où; on trou\e ainsi et en faisant (i,n-h = ^'«n
tn — k'* , , /ir.i
— A Uni ~A<
THÊOBIK DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l47
de sorle que la série primitive ^(x) se reproduit en facteur. Nous écrirons cette relation fondamentale sous ia forme suivante :
el en ohservant qu'elle a été obtenue sans rien supposer sur les coefficients arbitraires a,«, nous y joindrons celle-ci :
l\(x-hb)= U(x)e~
Par là se manifeste de la manière la plus claire à quoi tient la double périodicité du quotient des deux fonctions ^(x) et II (x). Chacune d'elles admet la période a, et, lorsqu'on y change x en X -H 6, elles ne font qu'acquérir un même facteur exponentiel qui disparait par la division (*).
Bientôt on verra le rôle important que joue le nombre entier k qui introduit au numérateur et au dénonunateur k constantes arbitraires d'apn>s les relations
Clni^i-= am', b,n-t-A=bm-
Mais nous devons dès à présent remarquer qu'il est impossible de satisfaire aux conditions
♦ (a: -+- a) = 4>(ar ),
par d'autres fonctions uniformes entières y que parla série précétlente. C^u'on fasse, en ellet, pour se placer dans cette hypothèse fil vériliaiit la première de C(îs conditions,
<;') l>ans le cas où k est un nombre pair, on remarquera ia relation suivante.
Fait4#n«
^ m- iir.r
f'fnction qui ne difTêrc de «t>(j?) qu'en re que les constantes arbitraires a^ sont «ii^piisée:^ dans un autre ordre; on aura
«l>lX-»--j=«l»„(j7)C îrt
CeirVKËB ÛË CHAULES UICHMITE-
OU
plutôt
*(jr) = > a,«iï
il viendra, en substituant dan» la seconde égaUlë et en compaiant les coeflicîenU d^une nié me exponenlielle, ^m^^/t =^ ^m^ \vant d'aller plus loin, nous nous proposerons dans une courte digression dédire tpjelfjues ïnots d'une gt^uéralisalion aussi remarquable qu'iinpurLante des séries cjue nous venons de renconlrer*
\M, *^ Apûtçu sur les fonc fions de plusieurs variables
à périodiciîé tnidiiple.
Une fonc lion ffxi, x^, , . ., x^,) de /i variables peut être périodique non seulement par rapport à chaque %^ariabie couî^idérée isaiément, mais par rapport a leur ensemble, lorsqu'elle vérifie une condition de cette forme •*
\{Xi~^ au Xt^a^,
,) — fOi, X X,,).
Sous ce point de vue plus général, on a d^abord cette proposition qu'une fonction uniforme de n variables ne peut admettre plus de %n périodes simultanées (*), Mais il est extrêmement remarquable et c'est à !Vf. le D'' Riemann, de Gollingue, qu'on doit celte belle découverte analytique, qu'à Tégard des fonctions uniformes 011 bien déterminées, les ^-* /î périodes simaltanées ne peuvent être des quantités données a /trtori, cl mdéjïen liante s les unes des autres. Qu'on forme, en effet, avec n périodes simultanées convenablement choisies :
les n fonctions linéaires
\„— afiTi-^èfiTi-^. . .^gf^Xn
(1) Si elle est cDiJèrc, elle u'ea peui lidmeUre )>Jus de n.
En posant
f{ \,, Xî, ..., X,|) = F(Xx, Xt, . .., Xn),
on aura une fonction transformée simplement périodique par rapport à chaque variable, mais qui conservera n autres périodes simultanées, et c'est à leur égard que se manifeste dans toute sa simplicité la relation que nous voulons énoncer. Représentons-les par
Ah Aj, • • • > A.,1,
Bi, Bj, . . ., B,,,
Gi, Gj, ..., G/|.
La proposition de M. Riemann consiste en ce que les termes de ce Tableau qui sont placés symétriquement par rapport à la diap>nale A,, B^, . . ., G,i sont égaux entre eux, ou, ce qui revient au même, en ce que les fonctions linéaires
Gid^t H- GfXi -+-...-»- GnXn
:>ont les dérivées partielles d'une même forme quadratique à n indéterminées.
\ oici maintenant la généralisation des séries relatives aux fonctions à double période, et qui donnent l'expression analytique des fonctions analogues à n variables et 2n périodes simultanées.
Représentons la forme quadratique dont il vient d'être question |wr ^{JTi. .r.j, . . ., x,t) et posons
le signe ^ s'étendant à toutes les valeurs entières de — oo à -f-oo des /i indices //i», m-j, ..., //i,^, et le coefficient constant a^^,;^,...,^^ étant assujetti à la condition de reprendre la même valeur lorsqu'on augmente du nombre entier A* l'un quelconcjue des indices. Celle fonction est évidemment périodique à l'égard de chacune des variables considérée séparément, et voici la propriété fondamentale qui la rattache aux séries elliptiques.
iSo
^KKS DE CIlXiTrBS
miTS.
Dé
signons par t?,, «j|,
tiff^ n nom
bre^ entiers arbitra très.
on ^ura
I df&
da*
^*(ir|,3*„
CêUê relatiun ne cutitenant pus les constuntes fif„ ^ ^„^^ „.,m«.i "ï**^ autre série f!(>r(, ^.j, jr,^)^ où ces cnniiianles auront des déterminations flifFe^rentes, donnera de nié me
dz>
\ *2 d€ix t* rfas Jfe «ia^i /
en résulte que k^ quotient r^- '* ''
- représente ru une
fonction de « variable:» à i/^ périodes, « d'entre elb?» é*;alefi à r uni té et appartenant séparément a chaque variable, les n autres étant les termes du Tableau doui on a dédiiiL la forme (|tiadralique ç(j:',, .r^j ...^Xu)^ Klles résultent ellectivement ties égabtés précédentes, en y supposant sucres^iveinenl nuls, sauf un seul qu^on prendra égal à Tunilé, les nombres entiers ai, a^^ .. *. ^n* Nous voyons aussi fleurer dims les séries un entier k dont dépend le nombre des consianles arbitraires qu'elles renferment; or ce nombre sera limité et ftni^ lorsque la condition suivante^ dont la découverte apjjarlient encore à M, Kiemanu, sera remplie. Soit
un système de n^ constantes arbitraires, il sera nécessaire et suffisant que les fonctions
U^x^pu ^i-«-/>ti -■
., m^-lrpn\
f(X|-Hy(, iTj^^t, .
-^, ^H-^qnU
f(X, -H Ax, X, -h $xy
JTft -H Stt J,
éptiées à séro ou ii Tinlini, n'admetlent qu'un nombre fini et limité de solutions qu'on ne pui^^se réduire les unes auï autres en ayant égard aux périodes.
THKORIE DKS PONCTIONS ELLIPTIQUES. 131
Cesl à Gr>pel et à M. Rosenhain qu'est due la première notion de> séries dont nous venons de parler, et leur application dans le cas de deux variables, à l'expression des fondions inverses des intégrales de radicaux carrés de polynômes du cinquième ou du sixième degré. M. Weierstrass, dépassant de beaucoup les résultai obtenus par ces deux illustres analystes, résolut dans toute sa généralité à Taide des mêmes séries le problème de Tinversion des intégrales de radicaux carrés de polynômes de degré quelconque. Après lui, en suivant une voie toute différente, M. Riemann par\int aux mêmes résultats, et c'est dans le champ plus vaste enct»re des transcendantes à différentielles algébriques quelconques que ces deux grands Géomètres se rencontrèrent en obtenant en même temps la solution du problème si général de l'inversion des intégrales de fonctions algébriques quelconques, l'une des plus belles el des plus importantes questions qui se soient jamais offertes en \uaiyse.
IV. — Comparaison entre les expressions sous forme de produits infinis et de séries des fonctions S et H.
Nous venons, dans un rapide aperçu, de montrer le lien et l'analogie des séries qui donnent l'expression des fonctions doublement |>ënodiques à une seule variable, et de celles qui conduisent aux transcendantes abéliennes les plus générales. Mais le cas le plus simple dont nous allons nous occuper exclusivement est le seul où ait lieu une décomposition en facteurs que ne comportent aucunenirnl les cas les plus généraux où les séries renferment deux ou un \A\\^ grand nombre de variables. Le rapprochement de ces deux p-nres d'expressions se pré-^ente de lui-même, et résulte de ces r»^lation> qui ont été précédemment données et que nous réunissons \r\ :
H <x-*-'.«K)= e {X), e (X H- •2fK') = — e (x)e k'"^' '^
H < j- — 2K,) = — H (X), H (jr-h i/K) = — H (x)e k'*"^' ^
t», . x-t- «K) = ^\ix), e, (a-H- ziK') = (dx{T)e k""^' ',
II,rjr-4- aK) = — H,(3r), H,(j--h '2iK') = Hx(x)e K " "^' '.
l52 OKU.VRES DE CHARLES HERMITE.
Comme on a évidemment
on voit qur les fonctions B(x) et H(j7) satisfont toutes deux à ces
conditions
et les fonctions Si{x) et H,(x) à celles-ci, pour une raison semblable,
---I» iK',
<l>(j*-i-2/K') = <ï>(ar)e 1^' Mais ce sont précisémenl celles que vérifie l'expression générale
lorsqu'en supposant le nombre k égal à 2, on prend pour périodes
Les constantes Gm !^e réduisent alors à deux, ao et «4, et, comme elles suffisent, ainsi que nous Tavons établi, à représenter la solution de ces écj nations la plus générale par des fonctions entières, en leur attribuant des valeurs convenables, les fonctions B| (jc) et H| (j") seront données par la série
/TT» / t: • (t/n-»-l|' /7C.>-
Cette détermination résulte d'ailleurs immédiatement des conditions
HiCr-H'^K) = — H,(r):
on remarque en efl'el que* les séries qui multiplient a^ et a^ vérifient respectivement la première et la seconde, de sorte qu'on
THÉORIE DBS PONCTIONS ELLIPTIQUES. l53
4iura
en désignant par a et ^ des quantités constantes. Si Ton remplace le> exponentielles par les lignes trigonométriques et la variable x
par 5 on obtiendra ces développements remarquables
xOi ( j = i -h 2q ces 237 -f- 'iq^ cos4a? -+- iq^ cos6a7 -♦-...,
SHi ( j = ^^/qcosx -^ ^V^^* cos3j:* -+- îy'V** cos5ar -h.. ..
En y remplaçant x par j; -4- -, on en déduira
ï6 ( j = I — 2y cos'iar-H 2^* cos4^ — '^q* co86j? -h. . .,
âH ( j = 2 /y sinar — '^\q^ sinior -h 2y/'^** sin5ar — . . ..
D'ailleurs, en ayant égard à la relation
ou lrou\era que les deux constantes a et |5 sont égales entre elles. \oici donc entre les séries et les produits iniinis des relations d'identité exlrémeinenl dignes d'intérêt, et auxquelles bien d'autres méthodes pourraient conduire. Jacobi, le premier auteur de leur dérou\erle, et M. Cauchy, en ont donné plusieurs qui sont tout à fait élémentaires, mais c'est surtout la sui\ante qui appartient à M. (iuchy, et présente ce caractère ainsi qu'on va le voir. 0»nsidérons avec l'illustre Géomètre le polynôme entier et fini
:^{ Z) = (l -h Z){l -h qz)(l -h q*Z). . .{\^ Ç"~^ ^)
La relation identique
{l-^Z)^{qz) =^(i-^q''z)9{Z)
l54 OEUVRES DK CHARLES HBRIIITB.
donne cette suite d'égalités
d'où l'on déduit immédiatement
Cela posé, nommons un instant ^{z) ce que devient ç(^) en y remplaçant q par q'^^ n par a/i et z par ^^^« Si l'on fait
on trouvera aisément a, au moyen de A/, et, en introduisant /i -h i pour indice, on aura cette expression
Le nombre entier / doit être regardé comme recevant toutes les valeurs de — /i à -h /«, mais on peut se borner par exemple aux valeurs positives, car on vérifie sans peine la relation
il en résulte pour ^{z) cette forme
-t- a«^.,( j"- « -4- «"-^«) -H ... -h a,«(i -h z*"), ou encore
*(5) = a„c«ri-h^^î^(-5-+-;5-»)-*- ?llî(^i^«-i)-h... 1. L 3« 8« J
Mais revenons à la valeur de ^{z) sous forme de produit, et observons (l'abord qu'en remplaçant q par </^ el n par in dans ©(5), il vient
THÉORIB DKS PONCTIONS ELLIPTIQUES. l55
de sorte qu^en mettant en dernier lieu ^^^ au lieu de 5, on trouvera
Or on peut écrire autrement les facteurs du premier produit, en remarquant que
cela donne pour ^{z) cette nouvelle valeur
Telle est la forme définitive du produit de facteurs dont nous avons le développement suivant les puissances de z. En faisant, pour abréger,
c'esl-à-<lire
"' ~ (I — ^««^-*)(i — qi"-^''),,.{i — <7««-^«/)' rideiilité algébrique que nous venons d'obtenir s'écrira ainsi
1 1 ^ qz ) ( i -k- ç* z ) . . .H -^ ç*"-^ Z)
el par suite, en faisant z = e^^^,
*\^ jtq cos'tar -»- ^'Xi -H 2^»cos2jr-4- 7^) . . . (i-H 7.^*"-' cos2j: -h ^*"~*> = 31.(1 -♦- 'laiq CCS '23? -H aû,^'» cos4 j? h-. . .-r '2a«^"' cosanx;.
l56 ŒUVRES DE CHARLES HERMITB.
Or on a pour n infini
5lii —
et ridentité algébrique fournit l'importante propriété de la transcendante 6,(j7), exprimée par la relation
(l -H iq C0S1X -H 9*) (l -H '1^' CO%'lX -h ^*)(i -f- 2^* C0%1X -f- ^'•). . . ^ 1 -+- 2^ cosiar -4- «2^* cos4^-»- 29» cos6ar-h...
Ce résultat nous conduit à préciser complètement la définition première que nous avons donnée des quatre fonctions ©(a?), H(j;), B,(x), Hi(j7), en les représentant par un produit de facteurs affecté d'un coefficient A resté jusqu'ici arbitraire. Nous ferons
désormais
et nous aurons de la sorte
81 ( — ;;;— 1 = I -H 2^ cos2ir-t- 2^* cos4ir -H 2^»COS6a7 -f-. . .. En partant de là et à l'aide de la relation
on aura ensuite
\ = 2 {/^ cosa7-i- 2^/^* cos3a7-i- ly/q^* co%bx -H.. .,
et ces deux formules, en y changeant j; en j; H- — » donneront
) = ' — '-^^ COS2X H- iq^ cos4ar — 2^* cos6â? -4-. . .,
H ( ^ ) = 2 y/ ^ sin a? — 2 v^' sin 3 J7 -h 2 /<7** sin 5 a? — ....
Telles sont sous les formes de produits infinis et de séries les transcendantes dont nous alloi\s établir les propriétés.
THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. i5y
I>es deux formes principales que peuvent prendre parmi une infinité d'autres les fonctions 6, H, etc.
O- point touche à la plus belle partie de la théorie des fonctions elliptiques., à la théorie de la transformation, que les bornes de cette Note ne nous permettent point d'aborder. Mais, indépendamment de leur intérêt propre, les formules que nous allons établir et qui donnent cette transformation spéciale des fonctions 6, H, etc., où Ton remplace l'une par l'autre les quantités K et iJsJj nous seront indispensables plus tard, et nous devons d'autant moins les omettre qu'il est extrêmement facile d'y parvenir, comme on va voir. D'ailleurs, on sera mis ainsi sur la voie de la recherche analogue et plus générale, où l'on remplace K et ÎK par mK-h/w'/K', /iK-f- n' i¥J^ m, m', /i, /l' désignant des fiombres entiers, et qui constitue le sujet même de la théorie de la transformation. Dans le cas où mn! — m! n= i, on est amené à ce que Jacobi nomme la théorie des formes en nombre infîni des fonctions 0. H* etc. ; mais, parmi toutes ces formes, ce sont celles que nous allons établir et dont nous aurons à faire usage, qui méritent d'être particulièrement distinguées. Posons
DU verra immédiatement correspondre aux relations fondamentales propres aux fonctions 6, H, 64, H|, à savoir:
( Hi(a7H-K) = — H(:r),
% (x^iK')^iH{x)e '.K '•'■"^''^', H (a: -H «K') = le ix) e" ^"'^ * '■^'*^\
|58 (JBUVRKS DE CHAHLE8 HERMITB.
celles-ci :
ic)
\ 0^(j:-+.iK')=r,,(^),
id)
0 (^-f-K)= ^,{x)e^^'^^'"^^\ Tj (j:-+- K) = iQ,(ar)«*» ,
e,(^H-K)= e (:r)^nf*»-^-^»\
rj(j7-f- K) = — Tj (arje^"^
Cela posé, remplaçons les équations (a) parles suivantes, qui évidemoient leur sont équivalentes :
e (X— K)= e,(a:), .H (:r-K)=-H,(ar), ^''^ j ei(:r— K)= er:r),
Alors, en comparant les équations (a') et (A) aux équations (c) et (rf), on remarque que le second système de relalicms coïncide avec le premier lorsqu'on y remplace d'une part
K et iK' respectivement par
iK' et - K,
et de l'autre
par
Htcr), ln(>), e,(x), e(a:).
Les nouvelles fonctions que nous avons introduites se trouvent ainsi ramen<''es aux anciennes et, si Ton remarque que par le chan-
gement de K en /K', et de iK' en — K la quantité q-=.e ^ devient q^-=, e *^, on aura en conclusion les expressions suivantes,
THÊORIK DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. I Sq
OÙ M et N désignent deux facteurs constants :
|- ^ ( — - — ] = W.'>. ^qn cosa-d -t- 'àql co^'It h- ^J)
X (I -4-'i7} COS>SX-H9J)U -H iql C0S'2J?-+-^J*), . ..,
i\ { I = M.2 î/^ sina-( i — 2^* cos2r -+-y})
X (I — 'i^JcosAX -^</o)(i — a<7J cos'ia? -H ^i*),
**i ( — 3 — \ = M . (I -H -i <7o cos 2 X -t- ^î )
X (1 -+-2^J COS2J: -+- ^J )(l -H 2^4 008237 -+- ^J"), . . ., /2lK'j-\ - -
Ta y —^ — 1 = M(i — 29roCOS2a:-H^Î)
X (1 — 2^,*, COS2X-+- </J )(l — 2^J COS2a7-+- ^J"), . . .,
1' 6( J = N (2 v^ cosir-+- 2 /yj cos3a7-H 2 /^J* cosSar h- . . .),
^1 ( J = M (I -+- -2^0 cos2ar -h 2^J cos4^ -+- 2^J cosfia? -^. . .),
r.i ( j = N (I — -Ago COS2X-H 2</i cos4a: — 2^J cos6.r -h. . . ).
Le principal intérêt de la seconde forme analytique qui nous c-il ainsi donnée par les quantités 6(\r), "^{x), etc., consiste en ce que Ton introduit, au lieu de j rar*i;umenl imaginaire
—^ — En supposant K et K' réels, on a donc sous forme réelle et Ton |)eut suivre la marche des fonctions, que l'argument soit lui-m«Mne réel ou multiplié par y/ — 1 ; bientôt on en ^erra une application.
Propriétés fondamentales des fonctions e et li ; définition de sinain^r, oosam^r, A a m 37.
Kn eni|>loYanl dans ce qui précède la considération de la fonc-
fHnir le caj» de k = 2, nous avons supposé
l6o OEUVRES DR CHARLES HERMITE.
Désormais nous garderons pour périodes ces deux quantités, et nous ferons par suite
avec la condition
ce qui donnera, comme nous l'avons établi, la manière la plus générale de satisfaire par des fonctions entières uniformes aux deux conditions
1 k tK
' *(a:-+- 'itK ) = <l>(a7)e **
Cette solution générale renfermera donc pour k = 4? par exemple, quatre constantes arbitraires, que l'on mettra en évidence en distinguant ces quatre formes de Tindice m, ni^iriy in-hij 4^-^^y 4/1 H- 3, ce qui donnera
(Jn-. Il" ^ ..lira-
(4rt-»-3.« „ . lUa-
ou bien,
pour abréger,
Par là on voit que, dans le cas où
*(T -r- aK) = *(a7), la solution est représentée par
<t>(x) = ao*o(^)-+- a,4>i(x),
et ne contient plus que deux constantes. De même, en supposant
THEONIB DBS PONCTIONS ELLIPTIQUES. l6l
OD aura avec deux constantes arbitraires seulement
4>(ar) = «1 4>|(jr)-+-ûfj4>3(a7).
Ainsi nous avons la manière la plus générale de vérifier ces deux STslèmes de conditions, savoir :
I ' tin
I 4>(a--h2tK') = *(a:)e" ^ ^•''^*^\
' *(.r-H2iK')=4>(x)e «
Cela établi, nous remarquons qu^en élevant au carré les deux membres des diverses équations fondamentales de la page i52, les résultats sont précisément de la forme du premier de ces deux systèmes. Nous en tirons cette conséquence, qu^en désignant para, 6, etc., des constantes, on aura
et en changeant x en x -4- K,
Eo second lieu, si Ton multiplie membre ù membre, soit les deux premières, soit les deux dernières de ces mêmes équations, c'est ià la forme du second système qu'on se trouve amené, par suite
on A
V et B désignant de nouvelles constantes, et cette relation donne, pn V changeant x enx -h K< la suivante :
ei(x)Ht(x) = iA*,( x) — iB<I»i(j?).
De 1(1 »e tirent, parmi bien d'autres conséquences (* ), les relations 4|t;#-briques et dilTérentielles de nos fonctions.
Notanmeol la transformation du i^econd ordre. H. — II.
l6l OKLîVRES DE CHARLES HBRMITE.
I. — Relations algébriques. — Du module et de son complément.
Deux équations linéaires entre les carrés 6^, H^, Bjf, HJ résultent évidemment des expressions de ces quantités par <Po (^) et <I>2(x). L'une d'elles pourra être présentée sous la forme
e«(ar) = aH»(^)-+-a'HJ(>),
a et t! désignant des constantes que nous allons déterminer.
Pour cela faisons ces deux hypothèses x = o et x = K; comme on a, d'après les formules de la page i43, H^o) ^ o, Hi (K) = o,
il viendra
''■""Hî(o)' Mais on introduit au lieu de a et y! les quantités suivantes :
et comme
la
relation
donne
on aura
d'où
Cette première relation obtenue, la seconde en résulte en y changeant x en x -r- /K'; si Ton emploie à cet effet les formules données page i43. il viendra, en supprimant le facteur exponentiel,
ou bien
Ces deux équations représ«'ntenl d'ailleurs toutes les relations algébriques possibles entre nos quatre fondions; elles conduisent
THÉORIE DES PONCTIONS K L LI PT I QUES . l63
à la notion des quantités que nous avons désignées par k et A', et donl les» racines carrées s^expriment en série de celle manière :
/7T 0{o) I — 2 y -^ 2 <y^ — ay'-* -4- vy^'' — . . .
I^ première, A', s'appelle le module de 6(x), Hi^r), B| (x), H| ' X), el la seconde, X*', le complément du module. Considérées p<ir rapport à q, ou plutôt en faisant
par rapporl à la variable o), ces quantités constituent un genre de fonctions analytiques entièrement nouvelles et de la plus haute importance parmi les» fonctions d'une seule variable. C'est principalement en Algèbre, dans la théorie des équations, et en Arithmétique, dans la théorie des formes quadratiques à deux indéterminées, que la considération de ces fonctions a suggéré d'elle-même des points de vue tout nouveaux et ouvert des voies téf ondes, où ont été obtenus les plus intéressants résultats. Les bornes de cette Note ne nous permettent pas d'entrer dans ce rhamp <léjà si étendu de belles recherches, mais ce que nous dirons à l'égard des fonctions B, H, etc. servira de préparation ^uf fixante pour lire les Mémoiies spéciaux qui y sont consacrés. 0'»t de ces fonctions, en efl'et. étudiées à la fois par rapport à x fl w. que découle tout ce qui concerne k et // qui contiennent seulement co. et il ne semble- pas possible, dans l'étal actuel de nos connaissances en Analyse, d'arriver à toutes leurs propriétés en partant uni(|uement de leur définition comme quotient des séries données précédemment ( ' ).
• I Fui!»«oii Cl M. Cauchy sont arrivés, par deux méthodes différente*, à celle il* mite :
V — l'w (I -•- itf '" -t- ■je'"''^ -h i e'''"-+-. . .)
•jui < onduit à des proprielé> fondaiiieiiiales des modules consitlérés romme foncii'ifi .!•• u. Mais il u'csL possible de tirer de la (fue la transformation pr)ur le premier ordre, et aucune autre voie [lour parvenir aux équations modulaires ne ^f^i rnrorf* olferlc que celle qui a été tlonnéc par les fondateurs de la théorie «!<;» lonrtion^ elliptiques.
âUVRISS DE CHARLES HBRim
On se rendra compte, jusqu'à un certain point, de cette difficulté, en observant que k et A"' n'existent comme fonctions de u qu^autânt qu^en supposant cette variable imaginaire et de la forme
CD = a H- tp,
p eêi essentiellement dînèrent de zéro et positif. Ce sont donc véritablenieaL des partie?^ de fonctions qui, des lors., échappent à beaucoup des méthodes les plus habituellement employées* \însî, il n'existe pas pour / et k^ de développeuient suivant les puissances de ti>^ et si Ton fait
w = ujft H- A
pour pouvoir employer la série de Taylor, voici encore les cîrcoa* stances particulières qui viennent ^'offrir. Les quantités k et A*' sont déterminables par la résolutitm d*une équation numérique, pour une intinité de valeurs de to, telles que
ta«} =:=
A, 6, C étant entiers, et B essentiellement positif; mais, si remploi de ces valeurs initiales, en faisant (*> =x tu^ + A, donne pour premier ternie des séries une simple irrationnelle numérique, les termes suivants sont nécessaîrementdes Lranscendantes, Ainsi, par exemple, pour tù^ ^= £, on aura
et, en prenant to ^ ( 4- A, ce sera l'intégrale
qui entrera dans tous les coefficients des développements de Aet A'^ suivant les puissances croissantes de h. On voit par là combien on est éloigné des séries qui définissent les transcendantes simples, où les coefficients sont toujours commensurables. Mais, sans nous étendre plus longuement là-dessus, et pour revenir à ce
THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. i65
qui concerne notre sujet, nous allons justifier les dénominations de module et de son complément, données à A* et Ar', en démontrant cette égalité
Les deux relations que nous avons obtenues sont
/-e»(ar) = H,(j7) -4-A-'HJ(ar), e»(ir) = k H^Ct) -+- k' ^]{x).
Faisons dans la seconde j: = K, après avoir divisé les deux membres par 0*(j7), en remarquant qu'on a
et, par suite,
on trouvera précisément l'égalité qu'il fallait démontrer. Il en résulte cette relation entre les séries infinies
= (l -f- 2^ -f- iq* -f- iq'^ -+- 7.q^^ -f-, . .)*»
qu'il est extrêmement facile d'établir directement à l'aide des propositions arithmétiques connues sur la décomposition des nombres entiers en quatre carrés. Mais, laissant encore de côté ce> questions, nous allons compléter ce qui concerne la définilion même de k et k' dont nous avons obtenu les racines carrées comme fonctions uniformes et bien déterminées deo). Jacobi a fait ^nir que les racines quatrièmes possèdent la même propriété en ♦lonnant les formules remarquables que nous réunissons ici :
^ I -+- ^ H- y» -f- ijr* -H . . .
*^ " * I — v.<7« -H 7.y» — .«y"» — . ' ^ ' i-hiiç -h>.q^ -h-xq* -i-...
l66 <jeii VR ES 1)K CHARLES H ERMITE.
Les lois de ces séries sont données pur ces formules où le signe \] s'étend à toutes les valeurs de l'Indice n de — oo à H- oo, savoir :
y/k = y/~x Vq
^ ( |jW^6/l'-^2rt
/i'-+-/i ."in'-t-ii
