IL

Lc«i r»*lalions iilj4[**briques obtenues prérédeminenl, et qui sont lioniMirrnes par rapport aux quatre fonctions, donneront

\m prenii«Te <'onduit à représenter a par un sinus, i' par un cosinus»: r*e>t re qu'a fait Jacobi, et, en adoptant les notations de Tilbi^'tre ;;éojnètre, nous |)oserons

a ■=. siii Axwx.

V — eus aiii.r, ii^ = A a m T.

Le -•înii>, l«; cosinus et le A de ran)|)litude de la variable jc seront

l68 OEUVRES DE CHARLES HBRlflTE.

ainsi les trois fonctions doublement périodiques fondamentales. Nous voici amenés maintenant au point en quelque sorte le plus essentiel do la théorie, où Ton a pour but de les définir par trois é(|uations différentielles.

Considérons à cet effet la dérivée de ££, à savoir :

du 2 ^'{T)ki(x)— \\ix)B'(x) »(j?)

Cette dérivée, comme la fonction elle-même, admet la période 2 fK' et ne fait que changer de signe lorsqu'on change r en ^4- aK; ayant donc pour le numérateur la valeur

on tirera immédiatement des relations

e«(j--f--AK) =e>(x),

aii:xquelles donne lieu le dénominateur, celles-ci : *(ar -4- -jiK) = 4>(r),

Or, d'après ce qui a été précédemment établi (p. i6o et i6i), on a

4»(ar) = flr|«,(a')-ha3*s(^) = m kiix)H{x) ^ nix^^i^) H,(x),

/// et /Wj désignant des constantes. Observant donc que u change de signe avec .r, et que, par suite, -7- est une fonction paire, on voit que la partie impaire //i6(jr) H(j:) doit disparaître; ainsi m =: o, et Ton a simplement

^ix) = w,e,(r) H,(jr).

En divisant par ^^{x) et faisant

il viendra

— - = UI'W = |X V (I — w* )(i — A*i/*). dx

Cette constante [x représente, puisque la fonction u s'évanouit

a\ec jr, la limite du rapport ^ pour :r = o, limite qui dé-

pt*nd en général des quantités K et K'. Mais nous avons précédemment remarqué que l'expression des fonctions 0(j:)H(^) ne

changeait pas en y remplaçant x, K, K' par—» -> —, et que cette

circonstance serait utilisée pour particulariser d'une certaine manière les périodes. D'après cela, nous allons introduire une relation qui aura pour eH'et de rendre égale à l'unité la limite >

iitin de rapprocher en ce point essentiel le sinus d'amplitude du sinus trigonométrique. Ayant

«inamfj-) i ^t :iK\ ^ K f^ K ^ /

ou h

leii

^ Il — iq cos ,7- -•- ^* ) I I — '>'fl <^os |T- -^- ^ ) •••

nous ferons, pour x -=. o^

J T. y/yd — y«r-(i — yM*(i — y«)»...

Ainsi, en admettant que les quantités K et K' vérifient cette condition, nous aurons

-— - = ptv:

(ix

cVsila premit>redes relations difFérentielles que nous voulions éta- Iilir. f^es autres en découlent à l'aide des équations

A* W* -H iV* = i .

et M>nt

-j- = — uu>,

-7- = — ki u V.

i7<> cervRKS de <:harles hermite.

Plus généralement, on aura

-y—- =( Ao -+- A, a* -h AjW*-4-...-h A„a«") m,

les coefficients étant des fonctions entières de A*^. On en déduit ce développement qui subsiste entre les limites — i et -h i de la variable, et où Ton a fait

1.2.3 » ■ / ,..i.3.j.5 8X-3(a* -^ 33a)— -i^ h iGA*(a*-+-3o6a«-f 189) ^

— 32A-5f X* -i- -ijGfia^ -H 8289 a)

On trouve de même

-H XM64 -H 91 > X« -+- 408 X-^ -h k^ )

M. Gudermann (') a fait la remarque qu'on pouvait poser, aux termes prcs du cinquième ordre,

sin (x J \ -\- Xr>)

V^i-hX*

i> = rosj?, t*' = cosArjr,

en négligeant seulement x\ ce qu'on vérifiera sans peine par le dévelop[)emenl.

Voici donc une nouvelle et complète définition des trois fonctions doublement [>ério(li(|ucs, en joignant aux étpiations dill'é-

(•j Journal de C relie, l. l'J.

renlielles les valeurs îniliales w = o, r =: i , «' = i pour x = o. En particulier, la fonction sinam(a:) sera déterminée en posant

et c'est cette intégrale, ou, plus généralement,

¥{u)du

en tiésignant par F(u) une fonction rationnelle, dont l'étude a oinert la voie pour parvenir aux fonctions elliptiques. On reconluit ainsi Forigine de cette expression de fonctions inverses, dont nt»us avons plusieurs fois fait usage, puisque ii est la fonction in- \erse de l'intégrale dont la valeur est r, et Ton peut juger quel long enchaînement d'idées et quels efforts il a fallu pour parvenir de là aux notions de fonctions doublement périodiques et aux séries- qui nous ont servi de point de départ. Mais ce long travail a âé fécond pour la Science; c'est comme conséquences de ces recherches que nous ont été acquises plusieurs notions analytiques entièrement fondamentales, et eu particulier ce que nous savons îur le mode même d'existence des fonctions intégrales. Après avoir trouvé, par exemple, que sinam(j:) ne change pas lorsqu'on < hauge X en j: -h 4 '^i K -r 2 m' iK'^ m et /?i' étant des nombres enfiers, on a du nécessairement rechercher dans l'intégrale

)/iA— u^)(i — A-^ui)

là nii>on de celte sorte d'indétermlnalion qui donne naissance à la firriodirité dans la fonction inverse. M. Cauchy, dans son Ménioinr sur les intégrales prises entre des limites imaginaires, avait donné les principes essentiels de cette étude si importante; rlle 4 été complètement faite par M. Puiseux, dans un excellent travail intitulé : liecherches sur les fonctions ali^^ébriques {Journal de M. Li'tuirille^ année i8;*)o), et auquel nous ren\oyons le lecteur. In autre résultat encore consiste dans ce sens plus complet et plus approfondi, que l'ona été conduit à attacher en Analyse à l'expres- Hon même de fonction, en reconnaissant et en caractérisant, entre les divers modes de dépendance de deux quantités, des dis-

CKUVRES DE €)HAIILE9 H 8 R M 1 1 K »

lînclions essentielles et donl les recherches auxquelles a donn^ lieu la théorie des fonctions eUiptiques ont montré toute TiiTipor tauce, Ainâi ont été proposées ces questions dont Tobjet est dd| reronnaître dans lu définition même d'une ftmetion, donnée, par] exemple, par une équation diflTt^rentielte, si elle est uniforme ou] non, et dans le premier cas st elle est entière ou fraclionnaire» Les résultats les plus beaux par leur grande généralité qui ont étél obtenus dans cette voie sont dus à M, Weierstrass (') et à] M. Riemann (^ ).

m. —Des quanlitiTs K éi K\

En particularisant les périodes de manière à rendre égaie à Tunité la limite du rapport — - — pour ar inOuiment petit^ nous sommes parvenus à Tex pression

qui conduit à une conséquence importante. Observons d'abord qu'en supposant jr ^ K eti par conséquent, sinamK =: i (' ) dans l'expression en produit infini de sinam^, on aura

|j « -^ ç n I -H ^/'^ ) ( »-+- 9' )- J Rn divisant membre a membre ces deux équations et extrayant

{*) Th^rie der Abetschen Funeiionên {Journal de Crêil^, 1^56 J* Vo^em »us&i diverses Notes 4e M. Ciiuchy, publiées à cctti^ epoqm? daiiH les Cùmptêâ rendus, et un Mémoire Je MM. Bri'vt ei Bouquet : Sur l'intégration den éçttationê di^értntieiie.i du premier ordre.

(') Atigemeine l'oraufset^ungen und Hid/smititl fur dU t/rtirrsuchung

von Fiinrlionen unàexchrùnkt ve/ànderliçher Oràs^en etc. (Jûtirniil de C relie» i85:).

(•) On irnuve que ^inamK — i par la formule sinam^^ -^ ;ï-; — r» <^n **

— H f fv ^ rappeliint i|Uï.- par défiiiilion yk = -571?%» P^l* 'S'-

TUBORll DBS PONCTIONS ELLIPTIQUES. lyZ

la rdcine carrée, il en résulte

expression susceptible d'une simplification remarquable. Emplo\ons à cet efTet la relation donnée par Euler

(i-?)(i-9')(i-9»)...' oa obtiendra d'abord

et en remarquant ensuite que

on \erra tous les dénominateurs disparaître dans la valeur de 1/ — » qui deviendra ainsi

Cela étant, si l'on pose xz= o dans la formule précédemment démontrée

^ \ = l-¥- ^q COS2Jr -♦- 2</* cos4j^ ^- 2^« COS62: -f-. . . = (I -h 2^ COS2J7 H- f/* )(l -+- 2^' 008 2 3?" "+- y® )

X (I -4- 2y*cos2ar-4-^»o). ..(I— ^*;(i — ^*)(i —y*)..., il \icndra

«l'où ce résultat, qui est d'une grande importance dans la théorie

174 OEUVRES DK CHARLES HERMITK.

des fonctions elliptiques,

— = ei(o) = iH- '27 -f- 2^*-+- a^» -+-.

On en déduit, en a^ant égard aux équations Jk = ^^^^^ H,(o)

Bi(o)' les deux suivantes :

= H,(0) = 2\/q H-2Vy» -t--2V^^"-+-2 v/^»»-4-.

C'est la seule quantité K qui donne lieu à des relations de cette forme ; la quantité K', entrant d'une manière difliérente dans l'expression q =1 e *", ne parait pas susceptible de développements analogues en série. Mais toutes deux s'expriment d'une manière parfaitement semhlahle à l'aide des modules k et A' par ces intégrales définies

J^ s/^i- ir){\ — k^u^) J^ v/(T^

w*Ki — A:'* M*)

comme nous allons le démontrer.

Précédemment nous avons déjà fait voir que sinamK=i; remarquons maintenant qu'en faisant wr= K dans les relations

^{x^ iW)=^ iY{{x)e *^ ,

et en divisant membre à membre, il viendra

H(K-htK') e(K) j e( K-^«K') ~ H(K) ~ ^l'

par conséquent, sinamx = — ^-— aura la valeur t pour

THÉOHIli: DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 176

j = K H- îK.'. Ayant donc

nous en conclurons (|up

el. par suite, en retranchant membre à membre,

r^ du

r du

iK'= / ,

Or. en faisant

celle dernière intégrale deviendra

Cf qui donne le résultat annoncé.

Mais ce que nous venons de dire laisse subsister une lacune iin|iorlante : nous sommes en ellet à Tun de ces points de la ifii'orie iles ^fondions elliptiques qui appellent de nouvelles re- «•li»fn-lies pour être aussi complètement trailés qu'on [)eut le di'nirer. En passant de l'écjuation dill'érentielle

A lii relation

r" du

on laisse absolument arbitraire la loi de succession des valeurs d«- la \ariable u dans Tintégrale, de sorte que les relations prrcé-

dentés

n'auront un sens entièrement déterminé qu'en définissant le chemin (*) décrit par la quantité /< = sinamj7, lorsque x varie de zéro à K, puis de K à K -h iK\ et, comme l'argument x peut varier entre ces limites suivant une infinité de lois, il faut de plus connaître comment les chemins correspondants qui en résultent donnent tous au point de vue de l'intégration par rapport à u le même résultat. C'est seulement dans le cas où l'on suppose K, K', et par suite Ar, des quantités réelles, et qu'on se donne ces lois particulières

/ et T croissant de o à - d'une manière continue, que l'on peut traiter la question que nous avons posée.

El d'abord on voit que // = sinam ( ) est réel par le développement

/•iKt\ 2\gs\nt — ■;• v^« sin 3< -f- *>. V'^** sin5f — ...

sinam ( ) = -5^^ -J^-î r — — 2-2^ -—

\ TT / I — 1 q cos 1 1 -^ >. q^ cos .\ t — >. q^ cosb / -4- . . .

D'ailleurs entre les limites zéro et K la dérivée

du k H|(jF)ei(a:)

dont la valeur initiale est l'unité, sera toujours positive. Elle ne peut effectivement s'annuler qu'en faisant

( ' ) Nous supposons que les notions fondamentales dues à M. Cauchy sur la représenlation géométrique des imaginaires, et sur les intégrales prises le long d'une courbe, sont connues du lecteur.

c'esl-à-clire (voyez p. i43),

or = ( «2 /n -h I ) K -H ( "2 m' -^ i) I K',

ei aucune de ces racines n'est comprise clans l'intervalle consi- ^l<^ré, la valeur x=K se trouvant préciséinenl la limite supéï'ieure de cet intervalle. Nous conclurons de là que, / croissant *le o à - , u croît de même de o à i et que dans l'expression

"intégrale est prise dans le sens habituel. Soit en second lieu

comme on a

2»K't , ,. /■xiK'-\

Oïl pourra écrire

sinam (Kh = -- ^ .^> . .

c^ ^'n introduisant les fonctions

/ .2iK'T\ I ^M^^;

sinam ( K h ) = -— ; — ,, ' ,

I I — ?.7„ cos^T -»- '^r/,; ros \i -■ >. <7|| cosfix. . . ^i' I -H 'if/., ces «T -*- 'A<yJ ros i t -k >. <y J cos (jt . . . '

ce (|iii est encore une quantité réelle ('). On conclura, comme

(•) On se rappelle que q^ — e "* , voyez p. i58.

tout à rheure, que la fléri\ée par rapport à t, qui est nulle aux

deux limites T = o, t = -\ ne peut s'évanouir dans leur intervalle,

de sorte que c'est encore dans le sens ordinaire d'une intégration rectiligne que l'on a l'i'qualion

r^ du

d'où nous avons tiré

Avant de quitter ce sujet et afin d'en (montrer la difficulté lorsque K, K' et k sont imaginaires, je remarquerai que la supposition qui vient le plus naturellement à Tespril, qu'on peut faire varier x, par exem|>le, de o à K, suivant une loi telle que u soit constamment réel, ne saurait être admise. Autrement dit, il est impossible, en général, que, dans l'expression

r du

"./„ v/(i — mV)(i — x*«m'

rintégrale soit toujours rectiligne, comme nous l'avons trouvé tout à l'heure.

EflTeclivement, soient

cK =<lK-r-/>îK',

a, />, c, d étant des nombres entiers qui vérifient ces conditions :

ad — />c = I ,

luod 'X, c ==0

d^i En posant

THÉORIB DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 179

on aura

rt-t-r— 1 __

^ ^ / \/k I — i^cos2X -^-'À'^cos^x — 2^ coii(jr-^ ...

ce qui est la même expression aiialyti({ue ('), au signe près en i>C et rx', que

/'àKx\ I '1 i/ a s\nx — li^g^ sin'ix -h li/g'^* fiïn5x —.. .

sinam ( ) = — — 2-^ î— £ 1£

^ / v^J- I — 27 COS2J' -f- 'ly* cos4a:' — '2^' cos3j:-f-. . .

^" Ket K.'. On en conclura que IX sera donné comme K par J'in-

l«*fîrale / Or, en supposant b différent de o,

'î* Valeur imaginaire

"*^ pourra évidemment résulter que d'une intégrale curviligne. Mais voici un résultat important et qui subsiste quel que soit le mode d'intégration : c'est que les quantités K et K' vérifient la menie équation linéaire du second ordre

**'*ni Tintégrale avec deux constantes arbitraires C et C est par sulie

z = CK -h G' K'.

Celte équation conduit au développement de K et K' sous cette furine : soient

'— a)"'-(ii)'"--(^4fai-')'— ■

M) Le» reldtions analogues relalivemenl à rosam(âr)eL Aaiii(j7) sont

/îiK'jrv , ^ /r 2^'^COSJ7-+-J^'^COS.{X-h*V^'COSJj:-h...

cos am ( ) = (- I) » i/ 77 — ^— ^= ^ ^— ^= y

\ "^ f V « I — 2 ^cos2J7 -h 3 ^* cos4j? — -i ^' cosfia;-f-,..

/j.''Hx\ - . I -+- 2 ? cosijr -h a ^* cos^a: 4- a ^'ïo'iiia: H- . . .

Aain i—^:-) =(-!)» >Jk' -f ^- ; ^- ;

^ ":: / I — 2 ^rosaj: -h a ^* cos^jc — 2 ^"cosOt-h . . .

oD en déduit, en supposant x = o, ce qui concerne ^k et y' A*' lorsqu'on y chauffC K Cl K' en IX cl tK'.

|80 GBUVRBS DE CHARLES HERMITR.

et k„, la somme des n premiers termes de cette suite, on aura K = -k,

K'=KIog|-(K-i)--^^-(K-K,)--^(K~K,)-....

On en déduit aussi cette propriété remarquable, à laquelle nous parviendrons plus loin par une autre voie :

KJ'~JK'= -

en faisant

Addition des arguments. — Théorème d'Abel.

C'est Ëuler<|ui a donné le premier les formules pour exprimer sinam(/z -h />), cosamu/ -1-6), Aam(ri4- b)n au moyen des fonctions semblables relatives aux arguments a et 6, et cette importante décoii\erte a été le point de départ et la base des travaux qui ont fondé la lliéorie des fonctions elliptiques, de même à peu prés qu'en Trigonométrie élémentaire on est parvenu aux propriétés analyticpies du sinus et du cosinus en partant des relations (|ui donnent le sinus et le cosinus de la somme de deux arcs, en fonclicm des sinus et cosinus de ces arcs. L'illustre analyste, par une sorte de divination restée célèbre dans Thistoire de la Science, obtint sous forme aljjjébrique Tinlégrale générale de Téquation

du du'

Or ce résultat revient exactement à l'expression du sinus d'amplitude de la somme de deux arguments, comme nous allons le montrer. Elleï-li veulent, en désignant par C la constante arbitraire,. F intégrale est

// v^( I — " * XI — A*«'* ) -+- u v^d — w* )(i — A* M*)

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l8l

Mais si Ton fait,

u = sin ama, u' = sin ama',

réquation (i), réduite à ia forme

da -h da' = o, donne immédiatement

Voilà donc, sous deux formes difTérenles, l'intégrale d'une même

équation différentielle, et Ton devra passer de Tune à Tautre en

établissant la relation qui lie les deux constantes arbitraires. Je

remarque à cet effet que c est évidemment la valeur de a pour

a = o, et, si l'on fait semblablement a' =z o et, par suite, «' = o

dans Téquation (2 j, elle donne c =zu =z sinam^r. La relation entre

les constantes est donc

C = sin anic.

\insi la valeur de C en // et //' donne précisément la déterminalion de sinam(6r + a') en fonction algébrique de sinama et »inama'. L#a Géométrie fournit aussi plusieurs méthodes extrêmement intéressantes pour parvenir à ce même résultat; ne pouvant ici les indiquer, nous nous bornons à donner sous sa forme analytique si remarquable le théorème découvert par Abel pour l'addition d*un nombre quelconque d'arguments.