I. — Théorème d'Abel

Les expressions de sinamx, cosaiiij;, Aamj; par H(x), H r '. etc., fournissent les relations suivantes qui établissent la •i<>iii»le périodicité de ces foncti<ms, savoir :

\ sinam (x-i- 2K; = — sinama, / sin am (ar -^ '2/ K' ) = -+- sinama?;

i cos am(x-T- 'ik ) = — cosamj:,

( co9am(x -^ 'iiK )= — cosani./-; •

i Aam {Xt-iK) = — Aania:, fil '

I Aam (jr + 2ik.)= — Aamar.

OEUVRES DE CHARLES HEItMlTE.

^ ^lix-h'lK) = — ï.,(a:),

Or on remurque que les trois fonctions se reproduisent dans le second membre au signe près, de sorte que les diverses combinaisons deux à deux de ces signes, pour l'une et l'autre période, forment pour chacune d'elles un caractère spécial et qui lie entre elles, d'une certaine manière, toutes les fonctions plus générales, composées de sinam x, cosam.r, A am^, qui à l'égard des pério<les satisferont aux mêmes relations. Ainsi, en désignant par F(jr ) et /(.r) deux polynômes entiers en sinamjr respectivement des degrés n et n — i , et faisant

r^/ . • X ^sin amj? . . . cp,(jr)= sin amar F(sin* ditix) -i -^ /(sin'amir>,

^,( j')= cosamx F(cos^amx) -i -y -/(cos-ainx),

^i{x)— l^mxFil^amx) n ^ /(«^ amj:;,

on aura, comme précédemmeni,

<P,(t-+- ?.iK';=-4-ç,(.r);

cp,(x-4-'2K) = — o,(ar), çiCj-H-îeK') = — «p,(a:);

Ce sont ces diverses expressions qui figurent dans le théorème que nous allons établir, ou plutôt encore la suivante qui possède le caractère résultant de la quatrième combinaison possible des deux signes dans le second membre, savoir :

En désignant par F(j:) et F|(x) des polynômes respectivement de degré n et n — 2, 'f (^) sera représenté de cette manière, savoir :

(iz

^{x} = F(3«)-+- — zF^iz^),

5 désignant inditlV^remment sin amx, cosamx, ou A am jt. Mais^ soit pour fixer les idées, z := sinamo:, et afin de mettre en évi-

jj ) 9t(^ -*- '^^^ = — ?i(ar).

THÉORIK DES PONCTIONS KLLIPTIQl K8. \^\\

d^nce dans ^(x) le numérateur et le drnoniinattMir, oniploNoim l'expression 5 = — ^^ — > qui conduira évidenimrnt au dt^utuni- Dateur ©^"(x), de sorte qu'on pourra écrire

Cela posé, ayant

la relation

donne immédiatement, en ayant éjçard à ce que 'f(-i^} adm<*l U'.n périodes 2K, 2 iK\ ces deu\ conditions

Or <^»n peut satisfaire à r-es relations, et d«' la tuauU'n: la plu» (ic^- Dérale. en n'employant, bien ent^-ndu. que det^ e»pre»»îof«» «'litières, si l'on fait, en désirant par \ un fact^rui coll^falJt.

♦ • X == AH T — X-, H jr — X. - . .11 / - »»• y.

Eifecti%ement. on \ériJier<- ^ laid*: d^t équation^

H j- — a ~ V K = — H jr - 7

H jT - a - M K = H X - î ^ î' * ^ *

.[•. i] -uftji fi^ui '..♦-liJ d** p'.>*^» lit •..■.»iàc;.'t.*'^u a — O; — . . — a., - •

-ilj'-^'- ir jnu- i:*'u***'d** qu r^ïi ■•-{««<■ cira •♦•w-i a»- u» ^vuf-.Mi'

>ii: ••!: ♦•fi*'-.

l84 OEUVRES DE CHARLES HERMITR.

OU plutôt

la seconde des relations ( i) donnera la condition

ce qui ne laisse subsister dans l'expression de ^(x) que les 2/1 constantes «oî ^'m • - -> «aw-i- Nous pouvons ainsi poser

,, , , AH(-r — a, )H(>— at)...H(j-— a,n)

(«^ ?(-^) = êÏN>) '

et cette ëquatic^n remarquable aura également lieu en prenant pour o{x) la fonction déduite de

en faisant z = cosam.r et 5 = Aamj".

Maintenant, une analyse toute semblable donnera, à Tégard des trois fonctions 0| (x)^ cp2(x), ^^(x)^ les théorèmes suivants, où A|, A2, As désignent des constantes, savoir :

et Ton aura encore entre les quantités a la relation

ai-4- a,-h.. .-ha,„^, = 0.

C'est dans la conséquence que nous allons en déduire que consiste, à proprement parler, le ihéorcme d'Abel.

Nous partirons à cet ellet des équations relatives à o(x) et çpi (x) où ligure la fonction Hix) qui s'annule avec x et met ainsi en évidence les racines des équations o{x)=o, çd,(j7) = o. En particulier, considérons la fonction 'f (^), où trois cas diflérenls

-a, )Hi(.r

*Î/Î-Kt)

Six-

-OLtn

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l85

S* présentent et correspondent à

js = sinamj*, z =t cosamx, -s = Aamx.

Les poljnomes F et F| introduisant i n constantes, on pourra, avant pris égal à l'unité le coefficient de 3"^", déterminer les 2 /i — i autres coefficients par les équations du premier degré

Cela fait, la relation (i) nous montre qu'on aura encore ^{x)^=o pourj::=aa«, c'est-à-dire d'après la condition posée entre les quantités a

x = — ( a, -h aj H- . . . H- itn-x ). Or le produit

donne dans les trois cas que nous avons à considérer un polynôme entier de degré ^n et ne renfermant que des puissances paires de z. car on a successivement pour

^ = sinainâ:' \-t-) = (i — -«*) (i — A:*z*),

« = cosam.r l—\= (i ^1^ (/'«-f- A:*-»*),

/ àz\^ z = lBmx (~r) = — <• — -*)^^'*—^*)-

r>dn> le premier, ce polynôme, décomposé en facteurs, sera donc

( z*— sin^ama, ){z^ — sin^amai). . .(5*— sin^ama^/i -1) X |s*— sin^am ( ai -r- «j -4-. ..-i-a,,i, )],

dan-i le second

i z* — ces* ain ai j ( 5* — cos^ a m a» ) . . . ( s* — cos* am oLm-i ) X [ «* — cos'am (ai +- a» -H ... -h «1,1-1 )J,

et enfin clans le troisième

( s* — 1* am2i)(«* — A«ama,).,.(z*— A^aiiia,,,-! ) X [«* — l*am (ai -r- aj -h.. .-»-a,;,i )J.

l86 OBtIVRES DE CHARLES HERMITE.

Les identités que nous venons ainsi d'établir donnent un résultat important lorsqu'on y fait 5=0. Si l'on désigne en effet, suivant les trois cas, par L, M, N le terme qui ne contient pas z dans le polynôme F (3-), on obtiendra les relations

sinam ( «i -+- aj -+-... -h aj^-i) = ^ cosain(ai h- aj-i-.. . •+- am-i) = Aam («1 -h aj-h. . . -i-aj,i i) =

sinamaj sinamxt. . . sinama^n-i

cos am 3i cos am oej . . . cos am gcm-i

Aamai Aamat. . . A amxm-

Des conclusions toutes pareilles seront données par la fonction

, ^ »^/ . . <i sinam j^ , . . ffiix) = sin ama: h (sin^am or) h -j /(sin^ama?),

où F et y introduisent 2/1 -h i constantes arbitraires. En prenant encore égal à l'unité le coefficient de la puissance la plus élevée dans F(5^) et déterminant les autres coefficients par les conditions

on aura

• • t./ • . /rfsin am.r \' .. . ^ sin* amo? F*(sin* amo?^ — ( ^ i /'( sin» anix)

= (sin*amj: — sin'afns|)(sin>am2: — sin^ama^). . .(sin^amjr — sin'amoit;,) X (sin* ama: — sin* am (aj -h a, -h, . .-4- %in )].

Ce second théorème donnerait la valeur de sin* am ( «1 -h aj -H . . . -h ajn ),

où figure un nombre pair d'arguments, mais le premier a l'avantage de conduire en uiéme tçmps à l'expression de

sin am(2| -h «j -H. . .-h a,,,.., ),

cos am(ai -4- «j -h. . .-h T-tn-i )t

Aam(a, -hai h-.. .-4- aj«-i ),

où il importe peu que le nombre des arguments soit impair, car rien n'empêche d'en supposer un égal à zéro. Une dernière conséquence à cet égard nous reste encore à établir. Observons que les

«'■qu allons

ou, pour abréger,

(iéterminent pour les coefficients de F et F| des fonctions rationneUes, dans le premier cas, pour z := sin am x, de

^sinamx/ sinamz/ et -5 = eus ama,- A ama/;

dans le second, pour z = cos am x, de

rfcosama/ cosams/ et -j = — sm amz/À ama/;

dans le troisième enfin, pour 5 = A am a/, de

(il am a/ ...

A am OL, et • — -z = — k^ sin am a/ cos ama/.

Telle sera donc la forme des quantités que nous avons tout à

l'heure désignées par L, M, N, et, par suite, des valeurs elles-

luèmcs de

«*inam(a,-i- a, -4-...-t- a„i,),

cos am(ai -h «t-h. . .-h aj,i i),

Aam( a, -^ a, -+-. ..-ha,;,,).

< hiant au double signe, il suffira, pour le déterminer, d'un cas partirulier: nous allons en donner un exemple.