sin ama FCsin^amg ) -- Da sin amg Ft(sin'amg

2 sin amg F (sin* amg) + Ua sin amg Fi(sin* amg) '

106 «SIJVRKA DK <:H%RLB9 BBBHITR.

c'est le théorème «le L'afiditioa des ^risumenU sous la forme trouvée par \bel.

D. — />*!? *li'jf'^r*;ntt:i f.tnrtîons antiloguifs à ia fonction 'iif tr'yisieme us pif ce,

Dimportaates questioas de méraniqae conduisent souvent à réduire aux fonctions H des intégrales semblables à la fonction de troisième espèce et qui s v ramènent par quelque substitution simple: aussi Jacobi. dans son mémorable travail sur la rotation des corps, a-t-il jujjé nécessaire de donner le Tableau suivant, qui ofl're la réunion complète de ces di\ erses intégrales ainsi que leurs expressions sous la forme la plus simple par les fonctions O.

/' '^ X:*>in dni<ïCi»'*aiu^iAJnîa*in*aim-<iLr H(at i ^Kx ^a\

J^ Aaniai I — A:- "incarna -iin^anix) ~ <^|(a) î ^^ %(x-i^a)

/■^ lan:r amti Aarii/i A-ani -r //wT ll.ui) i, ^ix — a\

3 I — — — =r jr ' — ll"><»r 1 ,

j^ i — A* ^in- anirt *in* amx H,<flt) i ^ ^{x ->^ a) r^ Aam^f c«»t ain/i '^J li « <j »

/ I — A* «m* jnia -sin- am/-

/" MM aiUfioo-aiiwi Aai / î»iii* miK* — >in- a

/ Aain<7i «incarna — «iin-am-r» H| < ci i

Je '' tjuii'niiw* AanwicoT»-aiii^«/-r H , *ii) [ '^ = — X — ■

«iin^aiii <7 — sin^ani j- Hn^)

' A ariifï coiania ^in-am-r</j" H « <i »

^in^ania — siii*aiiix H<^)

lo"^''"'^*

^il

Il nous suffira d*«>l>ser\er, pour qu'on puisse iinnirdiateinenl les dénionlror, que les équations % 3, t se déduisent de la première en y cliangeant successivement x et a en

arn-K-HiK', a -+- K -r /K', 27-htK', a-t-iK'.

THEORIE DKS PONCTIONS ELLIPTIQUES. 207

Ces quatre équations ainsi obtenues, on en tire les quatre sui- VàRies par le changement de x en x -^ iK' (*).

Des fonctions de M. VTeierstrass.

Il a été déjà remarqué que sin anij?, cos ainXj A am^, pouvaient, |>ourdes valeurs de x moindi-es que l'unité, être développés sui- \aDt les puissances de cette variable en séries dont les coefficients !Mjnt des fonctions entières et à coefficients rationnels de k'^. Il en est évidemment de même de sin^amj?, de la fonction de seconde espèce

Z(x) = I A:*siii*amiFûfcr,

df son intégrale / 7j(x)dx et même aussi de l'expression

mais, tandis qu'à l'égard de sin=*am^, 7j{x) et / Z(x) dx les

dt^veloppements ne subsistent que pour des valeurs de la variable •lont le module est inférieur à l'unité, l'exponentielle

- / Z \.r) dx

cond:iit à un développement convergent dans toute l'étendue des uj^urs réelles ou imaginaires de j\ Effectivement l'équation

{'•) Si Ton représente par / V{x)dx l'une quelconque des huit formesde la

fonction de troisième espace, F{x) aura pour périodes j K et 21K', et les exprcs- «luos précédentes s'obtiendront iniinédi;4tement à l'aide d'une expression f;éiiénle d<-> fonctions doublement périodi(|ues, qui sera établie à la fin de cette Noie, ^aTl^i^ :

F{x) -C -i- IH

Im quantités « dé^ianant les racines de l'équation ,, ; — - = o, et R les résidus cor- ^ ^ ^ h (x)

rt«p<»ndant«% de V{x).

donne

Voici donc une propriété Lien dî^ue d'attention de la fonctioi

#{*r)de se chuni^er par l înlrodiiclion du farleur e * -— -^ ei

une nouvelle fonction où l'ardu tnenl esl sorti du $igne cosinus et où figure directement le module X - à lu place des périodes el de

la transc-endïinte tf^=^^ ^^ Les mêmes choses jiuront encore lieu évidemitient à l'égard de res Lï'ois rtulres fonelioiis :

A li^h = sin H m 37 e *'« = e * * — - — ^-=f

-X'"^"'^=r^'^ii^>^'.

Il en résulte qu'à cAlë des développements périodit(iies

a K r I i \ q sin s' -^*i v <ï* ^«n i ,r -^ *i v^ o'* sln > j* — . . . jïiti atn — -7= -- -^ — ---t- — — — ~ î-ï ,

rf^osam = 1/t r^^^ — ^^-^ — l -f -^^-i ^— —'

A aiii = /A^ '- i- — ^ i

it i ~^ étf cfiîi i J!^ -K a 7* cris i| jf — ^ r/v ri ^i^ur ■*-,..

on voit s'tdlHr un autre mode de repréi^entîitîun 011 les fonctions doublemeul périodiques sont exprimées p^r At*s quotients de séries rationnel les en ,r et X*^, et convergentes quelles que soient lei valeurs réelles ou imaginaires de ces deux quantités. Abel avait entrevu el rapideiuenl indît|ué la possibilité de ce nouveau mode d'expressiuu des fonctions elliptiques, mais c'est à M. Weierslra^is que revient Fhonneur d'avoir mis dans la Science, au lieu d'un simple a|»erçu, une théorie profonde qui londuii directement à ces UMiJvelles fnnctions, non seulement dans le tas des transcendantes elliptiques, mais pour tes transcendantes abéUennes à un nombre quelconque de variables. Ne pouvant exposer ici les pria-

cîpos dont cet illustre géomètre a tiré ces grandes et belles découvertes, nous nous bornerons, et sans sortir des fonctions elliptiques, aux indications suivantes.

I. — Définition des quatre fonctions AI(a"). — Équations différentielles.

Vfin «le rallaclier immédiatement ces fonctions aux quatre fonclloiis H(j: ), nous poserons :

- r Z KX) dx A1(J') = C *'o