IV

et, par cons**quent,

ce qui donne la relation annoncée en remplaçant ÎJ p»r îj •

tSUVRES DE CHARLES IIERMITB.

Ces quantités J et J', lorsqu'on suppose le module k réel et moindre que l'unité, s'expriment par les intégrales rectilignes

k^,T^ dx

\/{x^ — \){i — k^x^) et l'on a, comme pour K et K', ces deux séries :

j' = jio-| + i-(j-J,)-3^(j-i»)-52^(i-J,)-...,

en faisant

« 't. ^/'\'/i 5/1. 3\«,, y/'-'J-Si'.,

^ =;*'^4U) ^*^6(iij ^'^slrrii) *^---'

3„ = iA-.-^^(i)'>^>-..+iii^('-;--"'-;yx-.«-»

Voici maintenant la propriété de la fonction de seconde espèce qu'on doit regarder comme caractéristique et qui justifîe son introduction à titre de nouvel élément analytique dans la théorie des fonctions elliptiques; elle consiste «lans les relations

Z(r-H-?.K) = Z(.r)-h -iJ,

Z(ar-+- KiVJ) = Z( J") -H 'AtJ'.

Ces relations, qui découlent immédiatement des équations fondamentales

^iX'h'>.iK ) =z—^{x)e ^

en en prenant les dérivées logarithmiques, donnent en effet la notion d'un nouveau genre de fonctions qui, étant uniformes, se reproduisent avec l'addition d'une constante lorsqu'on augmente l'argument des quantités aK et a/K'. Plus tard, on verra le rôle et l'importance de c<» caractère cpii n'est plus la double périodicité, mais qui s'y rattache d'une manière étroite.

THBORIB DBS PONCTIONS RLLIPTIQUKS. 201

On y parviendrait d'ailleurs encore autrement, en partant de réquation

Z«. j- -r- a) = Z(x) ^-Zi a) -¥- A* sin amx sin ama sin am(x -f- a),

c'e>t-à-dire du théorème de Taddition des arguments dans la fonction de seconde espèce, que Jacobi démontre comme il suit : Différenlions, par rapport à x, l'équation

n ( -r, a) = X • H- - lo;^ [ .

il viendra

i'oin am/ï co« ama Àam^7«^in-aiTix B'(a) i ^'(x — a) i ii' (x -h a) I — X* sin* ama sin- a m ar ~ H(</; •>. H ( x — <?) .>. t^(.r-Ha)

d'où, en permutant x et a^

i*5in amj"cosamj' A aiii:r sin^ama ^ i^, i„,

., . ^ r— =— Z(a7)-+- - Z(a:-ha)-r-Z(j- — a);

I — A* «incarna sin* amjr -x u

or ces relations, ajoutées membre à membre, donnent

X-*«n amjr sin ama sinam(j:^ -^~ a) = Z(x ~h a) — Z(x) — Z(a).

ÏH. — De in fonction \\{x, a).

^>n ccmsidère comme Tune des plus belles découvertes de Jacobi r*»lte expression de Hix^ a) où figurent deux quantités, rar{»umenl .r et le paramètre a^ par la relation

«'//) •>. "^ k^ix -\- a)

diins laquelle n'entre que la seule fonction B avec sa dérivée. Il pourrait même paraître inutile, à cause de la simplicité de cette expression, d'introduire avec une désignation spéciale et comme un élément analytique propre la fonction de troisième espèce. Olle désignation cependant est consacrée par les travaux de Le- S'-ndre qui ont précédé la découverte de Jacobi, et nous remploierons dans les énoncés des propositions suivantes.

A. — Échange de l amplitude et du paramètre. L^équalion fondamentale donne immédiatement

OU bien encore

n(a:-, a) — U(a,.r) = aZ(ar) — j?Z(a)

en introduisant la fonction de seconde espèce. Celle propriélé peut être établie directement et étendue aux intégrales d'ordre supérieur par la méthode suivante qu'a encore donnée Jacobi. Soit o(:r) un polynôme de degré quelconque en x el

la diflérence F(x, a) — F(fl, x)^ ou bien la somme des intégrales

/* \/f^{a)dx r ^(f{x)da

Ja (./• — a) v^ç( j-) J^ (T-a)v/ô7â~)

peut être remplacée par Tinlégraie double

r" r ' dx da [^7.r

Or on trouve aisément que la quantité placée entre parenthèses est une fonction entière de x et de «, de sorte que l'intégrale double se ramène à une somme de produits tels que

/• a'*' da r X

X» dx

Le cas des intégrales elliptiques résulterait évidemment de là,

en posant

^(x) = xii —x)ii — k^x)

et prenant, pour variables x et or, les quantités ,^ ^. ^ el

sin^amr/.

TliBORie DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 2o3

B. — Des fonctions complètes.

Supposons successivement dans Téquation précédente

Ht a?, a)— n(a, a?) = aZ(.r) — a-Z(a), ar = K Cl ar = K-+-«K';

en observant qu'on aura

on en conclut

U(K,a)=aZ(K)-KZ(a) = aJ- KZ(a) et

II( K -+- iK') - n(K) = «aJ'— tK'Z(a).

Telles sont les valeurs des fonctions complètes ou bien des intégrales définies

A'^sin ama cos ama A ama sin^ama: dx

I — A-* sin'ama sin^amar

'^^ A:' sin ama cos amaAama sin'amjr é/j; I — X:* sifi'ama sin'am^r

Si pour un instant on les désigne respectivement par II et /U', on aura les relations

Uix-i-'àK, a) = ri(ar, a) -+-211,

U(x-+-2tK', a) = n(j7, a) -h i «0' et

Kri'-nK'=— .

Mais nous observerons, à l'égard de la fonction de troisième espèce, (|ue rintégration introduit, en modifiant le chemin décrit par la variable, un multiple entier positif ou négatif de n y^ — i , de sorte que ces relations n'ont lieu que pour certains modes «l'intégration, tandis que les relations analogues relativement à la fonction de seconde espèce n'exigeaient aucune restriction de cette nature.

ao4 OEUVRES DE CHARLES HKRIIITE.

G. — Addition des arfruments.

Considérons, pour fixer les idées, un nombre impair d'arguments tti, aj, . . ., a^z/^.!, liés par la relation

Téquation fondamentale

donnera

11 (a,, a)-hlKa,, a) -+-...-4- Il( «,«;.,, a)

Cela posé, je dis que la quantité sous le signe logarithmique s'exprime rationnellement par

\ sinamsi, sinamaj, ..., sin ainat;,^-!,

/ Da, sinamai. 0^, sin amzt, ..., D«„^j sin amotin-i.

Rappelons, à cet effet, qu'en désignant par /(-r) el/i{x) deux polynômes entiers en x des degrés n et /i — i et faisant

çp( T) = sin amj'/c siii*aiiij-) -t-Dj-sin amar/i^sin* amor),

nous avons obtenu (p. i84) la relation suivante :

AH( J- — a,) II( j^ — oii).,, IKx — «,„H-i)

k^tn^liX)

où les coefficients des polyiiomes / et /i doivent être déterminés par les équations linéaires

'5(a, ) = o, 5,(aj) = o çp(a,„) = o,

et sont des fonctions rationnelles des quantités (A). Cela posé, en changeant .r en — x^ on en déduit

__ AU ( .r -4- g| ) H ( j: -f- gj ', . . . H ( j- -H «an-^i )

THSOBIB DK8 FONCTIONS ELLIPTIQUES. 2o5

el il en résulte

^i—x) ~~ H(a?-hai) H(J7-»-a2)... H(j7 -h «j,,^, ) '

Or, en faisant

d'où

sinam:r= -, — ; »

Arsin a m a

^ Dasinaina

DxSinaii)J7 = î — :— : >

ATSin^ama

la quantité

H(3: — gi)H(a- — at)... H(x~ai;,-n) H(a:-4-«,)H(.r-haj)... H(jr-+- a,«+,)

deviendra précisément

e( g — g, ) e( g — gQ . . . e( g — al/l-^- 1) ^ e(g-4- a,)e(g-Ha,)...e(g-f- at„-+.i )

Elle s'exprime par conséquent comme il a été annoncé, ayant pour \aleur la quantité

i ^/ I \ /DgsinaingN / i \

k sin amg'' \ A:* siii*amg ' \ k sin<ama / •' * \X:* sin* ^ma/

' f( ' \ , /DgsinamgX / i \

X sin ama*' \k^ sin* amg/ \ X: sin'anig /•' * \ A:* sin» auig/

ijiron rauiène, en multipliant haut et bas par sin-*""*"* am a, à la

forme

sin amgP(sin<aing ) — D,^ sin amg Fi(sin'amg) .«in auig F( sin* amg ) + D^ sin amg F| (sin^amg;

F'x) et F|(j7) étant comme f{x)Gif^{x) des polynômes de •lej:rés n ei n — i en x.

Ou peut donc écrire, en remplaçant l'argument a^,,^, par

IVquation suivante

\\(ix, a) -h lUaj, g)-+-. . .-H II («m, a) = II(ai + «s +.. .-+-a,,i, a)