tVRES DE CIIARI.RS IIERIIITE
dérivées de logaril limes des deux membres, ce qui donnera
j—r-^ — - = — A-* sin* am a: = — A* -m — -
dx" AI* (a*)
</* locAl(a:)i d^\Q%K\{x^ rf*log sin am^r .... i •
^-r — 5-r-^ — — ^V-; = A*sin«amx r-r »
dx^ dx^ dx^ sin*am;r
d'où, à cause de l'équation précédente,
rfMogAKy )| I ___ Ai»(ar)
dx^ ~ sin' anij* "" Al*(a")|
Voici, eu développant, les équations difTérentielIcs qui en
résultent :
I ,, ^ di\\(x) rd\\(x)y ,,. „, , )-'^'^^^^ [-^f^\ +^''^»*(^)« = û»
On aurait d'une manière analogue, ou comme conséquence des relations algébriques,
Ces relations importantes que M. Weierstrass tire immédiatement des équations de définition :
ds\n ani.r
= cos am .r A ain j*,
dx r/cos ain.r
d \ am.r
dx
— — sin ani X A ain x^ = — k^ sin ain .r cos am x^
et par une méthode qui s'applique aux transcendantes abéliennes les plus générales, peuvent alors, par une nouvelle méthode, conduire aux fonctions B, ou servir à d^'monlrer directement qu'elles définissent des fonctions développables suivant les puissances de la \ariablc on séries indéfiniment convergentes, et dont les
coeflirienls sont des fonctions entières de k^ à coeflicienls ralîonnels. Toutefois, pour efTecliier les développements, on suit une \oie diiFérente et plus simple dont voici le principe.
II. — Équations aux différentielles partielles, — Formules de développement,
L ne analyse un peu trop longue pour que nous puissions la rapporter ici a conduit M. Weierstrass à ces écpiations linéaires aux dillVrcnccs partielles, savoir :
y— — -t-2A*ar j haXX* — -jj-^ -^k^x^X\(x) = o,
</x* dx dk ' *
d^\hx)x ., d\\{x)x ,.,dk\{x)x ,,„ ., ,^.,, ,
— , ^ -4- 2 k^x -JZ-^ -"- ^kk * — dk~^ "*" ^ "^ ^^ ^^' ~ "*
— S?i H2A»j: — ^ haU-'î -^ h (i -+- X»x«) Al(a^), = o,
d*-\\(xh ., rfAl(jr)j ,,,, rfAU:r)s ,,, ,, ., ^,,
— ^^^^ -h^k^x — ^^-^9.XA'* — ^T-^-hCXr'-hX'a-») A^j-), = o.
Ces relations importantes sont éminemment propres aux dévelop- |»<*inents en séries, et Ton en tire les formules suivantes. Soit, en drsi«(nant le produit i . 2 . 3 . . . /i par /i !,
AUx,.= i-C,^ + C,^ -...+ (-,)'" C,,,^-^^^...,
(') Lr terme en 2;' manque dans cv développement, comme on le voit a
-f 7...M/1 prior |>ari I ei pression c •' 0 où la srrie en exposant roinim'nce par un
tenue en x*.
MA ilKrVRKS DK ClI.VnLKS llKnMITK.
011 aura
Aï = •>/»•«,
A3 =8(Aî-T-XrM,
Av = V2(Xî-f-^«)-t-68XS
A5 = i-^.8(Aï-f-A«)-h48o(X*-t-X«),
Ao = 5i-2(A«-+-X*io) -h 3oo8(A-* -*- A») -f- 54ooA«,
At =9.o48(/.*-t-A»ï;-i- I74o8(A-^-!- At^») -+- 4()368 (Àr^-i-X'»),
Ag = 8 I9>.( X»H- X»*) -h 95-;i3'2 ( A* -+- /.»«) -+- 3()55-2o (X« -i- /i»0) -h 603376 A»
Ao =327()8(/î-hA:»«)-+-4997iJi(A^-hAiM -+- 2 833888( A« -f- A«M
-h )668o96(A»-+-A»o), Aio= i3io7>.(X«-+-A:»M-f- 253959.o(X-*-+- A-»«) -+- i90976oo(A6-4- A»*)
B, =:|-+-AV-h îA»,
B3 = ,-|-Ar.^9(Aî-4-X'*),
B3 = , -h AIO-+- 25 (/.*-+- X-8) - 494(^'^-^ X^),
Be = 1 -+-Xi«-h3r)(X-«-^ X»o) — 5781 (X-*-:- X») — 12 184 X*,
Bt ==i4-X»M-4<)(X»-r-X»»)— 5>i73(X-4-X»«)- i796o5(X«-f- X» ),
-3 547D'io^«* B.J ::= I H-X^»^Si(X*-hXi«) — 4537.5oo(X^+X»^} — 27i98 588(X«H- X«V)
-5933i4y8(X''-hX'"), B,,- I -uXî«>-^ioo(Xî-+-X»») — 4o8'5r)7i5(X*-*-X-»«)
-3i38oo8o(Xfi-HX-i^)— 9090i527o(X*-h X»*) — 1 278 j3o8jr»X»",
TUÉORIK l>K8 FONCTIONS K KM 1>TI0 t^ KS . > I *)
Mais les rqiialîons aux diirérences partielles ne servent pas seulement à faciliter le calcul dont nous venons de rap|)orter les résultats d'après M. Weierslrass, elles donnent encore, par exemple, une démonstration facile des équations suivantes, qui se rap- [Kirtent à lu transformation du j)remier ordre, savoir :
Ai(a-x, J.) =AI(:r,A),
1 \\{ix, A') = e'^ \\{x. Ali, I Al(/>, X')i=ee~AlU', X )i.
iX\(ix,A')i=e'^ \\(x,A), A!(£>,X-'),= <'^Al(.r, A)3.
Nous remarquerons enlin qu'(»n ])assant ainsi d(»s fonctions H<y)à .\l(j:)quî ont perdu tout caractère périodi(pie, les (juo-
al 4 ÛKUVHKS OE Cil An t ES rtrrtHlTÉ.
tien là -r-r- — t TT7 — ^» ".- , , , sc trouvcnt posséder la double ue-
Al(;rj AUjp) A 1(4?) * '
riodicîté en vertu des reblîoiis suivantes^ conséquence immédiate des équations (B), en se rappelant qu^on a
savoir
ei
ï = ^ Cl KJ'-K'J = "
K ti.
Al(^~h;iK) =-^AM:r) ^-ïJ^i+Ki, Al{:ï'^aK),=: — Al(jr), e-»'^''+*i«, AI(XH-2K), = ^ Al(>j,*î-i^i'^«', A K^r-t- iK )i» ^ 4- Ai(af )3 (î-»^« ' -»-»S
AUj- H- ïiK') = — Al(^) is-iu^t-kTii ^ Al(J'*+-a*K'J,^--AI(c^)le-^'J't'*'^'*^^ A Kj*^ jieK'jj ^-K A t(jr ),!?-*' J''^>'i*'>,
Développements des fonctions ôUiptîques en séries simples de sinus et de cosinus.
Voici un nouveau mode d'expression analytique qui se distitigue essentiellement de celui que nous venons d^éludier, en ce que la variebleest assujettie à rester enlre certaines tiuiîtes déterininées, de sorte que, ces iuiiites changea ut, la forme du développement doit changer également- Toutefois, comme il suffit, pour embrasser toutes les valeurs réelles ou imaginaires de rargument, d'un nombre limité rie développements et que, dans chaque intervalle d'ailleurs, le développement convenable subsiste qucllcis que fuient les périodes ou le module^ on peut présumer que Tétude de ce mode d'cîLpression ouvrira également la voie pour pîirvenir aux propriétés fondanienlales des nouvelles transcenda n tes* C^est* en effet, ce qui a lieu, et Ton verra même ainsi s'ollVir naturellement la réduction auï fondit» us ellipliques de loti le fonction doubleincnl périodique uniforme, c^est-ù-tlire la proposition de M, Liou- >ltle énoncée page I2(j et qu on démontrera ci-après. Mais^ a un autre point de vue et par le seul fait des identités entre les séries et les quotients de séries, on se trouve auicné aux propriétés des nombres les [dus cachées et Icï plus îni portante s, propriétés dont
THÉORIE DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 2l5
l'intérêt s^augmente même par le lien si imprévu qui les rattache aux transcendantes de l'Analyse. Nous nous bornons ici à cette indication, ne pouvant entrer dans cette partie fort étendue de la théorie des fonctions elliptiques et qui est liée étroitement aux belles recherches que la Science doit à M. Liouville sur les fonctions numériques.
