RELATIFS AUX FORMES QUADRATIQUES

Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LV, iSCy>. (Il), p. ii-85 cl Journal de Liouville, l. \\ (9/ série), iHfil, p. i45.

\jk théorie des fonctions elliptiques présente deux points principaux où elle vient se lier à T Arithmétique et spécialement à la ihéoric des formes quadratiques u deux indéterminées de déterminanl négatif. L'un s'offre lorsqu'on développe en séries simples de >inus et de cosinus des quotients de fonctions B, et ne suppose que les considérations les plus élémentaires de la théorie; l'autre lient H l'étude beaucoup plus profonde et difficile de ces équations nlj^éhriques à coefficients enti(îrs dont dépendent les modules qui donnent lieu à la multiplication complexe. Si différents et éloignés que soient ces deux points de vue, ils présentent néanmoins un cnsenilde de résultats communs : nous voulons parler des déterininations nouvelles du nombre des classes de uiéme déterminant décou\rrtes par M. Kroneckor, rt (pii, à Www juste titn^, ont aitiré Taltenlion des géomètres. Dans une J^ettre (*ommiini(|uée par M. Liouville à l'Académie rann<;e dernière, j'ai rapidement in<liqiié de quelle manière ces résultats pouvaient s'établir par la considération élémentaire du dével<)p|)ement en série de sinus et de rosiniis. C'est sur cette méthode (pie \v. me propose de revenir pour en faire une étude plus eomph'He, eu nneu.v fixer h* caracl#*n* «•! Ie> Ijuiiles, et surtout approfoudii- la nalur(* dc.s nouveaux II. - II. I •

àl'I (LIVRES DE CHARLES IIERMITE.

élôinenls arithmétiques qu'elle met en jeu et qui lui semblent propres. Elle repose essentiellement sur l'emploi des expressions en srries de deux systèmes différents de fonctions qu'il est nécessaiiv de donner avant d'en exposer le principe.

Le pivmiiM* de ces systèmes est, à quelques exceptions près, ronsemide ties fonctions doublement périodiques considérées par Jaoobi dans le v5 39 des Fun lamenta. En écrivant, pour abréger,

e, e„ II, II, au Heu do

«ui lieu de

de Horte i|u\ui ait

^ t =- I - Itj -T- -4^^ — Xq^ H- 2^*« — 27'* -H. . .,

)r lo^ piv^ruierai «;roupêes de la manière suivante :

n I v'»/ '-in r 4 V^^' î^i" ^•'* Ji \/q* *^'ii\5t

H I i«/>in«r 4<7'î^»"3j" 4<7*sin5.r

' ' M ^nw i — 7 l — 7^ 1 — 7*

Ml i \ 7 coN^ 4 \'7^ «'^^^ >•'* iv^t^^î^^J"

H| I i7C«»*r î7'*cos'>x 47*cosVr

^ Ui *'*'>-^ » — '/ * — V 1 — 7'»

SCR LES TIIKORÈMKS DK 31. KRONRCKKR, KTC. 743

II |/<7siii:r .^^^ffiïn'ix 4/y*sin5.r