V. — Proposition de M, Liouville

Nous fonderons la démonstration sur la formule précédente, en y supposant

^{z) étant une fonction doublement périodique uniforme dont les périodes seront, comme plus haut, 2K et 21K'. Alors les racines Ç comprendront les solutions des équations

= Pr

Nous dési^^nerons les premières par s et les secondes par JJ', en admettant toujours qu'elles soient représentées par la formule

p -Jr'lK( -\- -21 K' M,

t et u restant compris entre zéro et Tunité. A l'égard des résidus

(le ^ ) on sait qu ils sont ejj^aux a -|- i ou a — i suivant qu ils

se rapportent aux cpiantités ^ ou ^', et, comme leur somme est nulle, on est amené à la coiisétpionce remarquable que ces quantités ^ et Ç' sont précisémeul eu même nombre.

Cela posé, el en désignant ce nombre par /i, on aura

4»(^> ~ "^"^ u (5 - Cl) ■*" H (-5- ;,) •• -^ Il (i: -!;„■)

d'où Ton lire, en désignant par A une constante arbitraire,

expression qui doit avoir les quantités aK et a/R' pour périodes. Or, en faisant usage des relations

H(jr-+.2K) = — H(jr),

el reprcscnlanl la somme des racines Ç par SÇ, la somme des racines s' par S s', on trouvera

(le sorte qu^il faut poser

î/KC-+-i^v;(îEv..

•*l ces conditions donnent, en désignant par a et |3 des nombres entiers arbitraires,

el, en second lieu,

s; — Sî;' = 2aK-f-2piK'.

On observera combien est digne de remarque cette relation dont la décou\erte appartient à M. Lioiivillc, entre les racines des équations

< I quant aux nombres entiers a et [i qui y figurent, j'ajouterai seule-

meut qu'ils se raltaclieut îmincdiatcinent à la fonction ^{z) clleinènic [>ar Téquation

Voici maintenant les conséquences qui en résultent. Ayant on en tire

ce qu'on peut écrire

Remplaçant donc le facteur exponentiel

<pii n^ure dans lVx|)ression de ^^(^), par ce rapport de fonctions H,

et posant

11 viendra

[\^z-\\)\\^z^:,\)..AUz-^^-')

Or on reconnaît au numérateur et au dénominateur de ^{z) les expressions cpie nous avons déjà employées en démontrant le théorème dWhel sur Faddilion des ar<;uments. Si le nombre n est im- . pair par exemple, l'expression

H(c -r,)ll(;;-r^)...H(;;-^v;)

est celle (pii a et»' considérée paf;e iH^, et qui s'exprime ainsi

tir

'i( 3) ~ V{.r^ )h — - .rF,(.r«), <iz

V{x) et F,(./') dési^uaut des polynômes de degrés — ; — et — ; — -» <i X pouvant être pris éj;al à >inamr, eosamc, ou Aam^. Dans le cas de n pair, elU? coiuride aNce la fonction désignée page i8{.

THitORIB DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 235

par ?i(jr), el l'on a alors, en désignant par F(jr) et f(j^) deux |h»- Ivnomes entiers en x respectivement des degrés - el — ;- — >

li(^-~;.)H(\;-^!:,)...H(3-^v;)

= sin am^F(sin' am^) h ^^ f(sin' amc).

On voit donc que 4>(5) esl donné par le quotient de deux expressions de cette nature, et c'est précisément dans la réduction de la fonction doublement périodique à sin am^ et à sa dérivée que consiste la proposition que nous avons en vue d'établir.

(..a démonstration que nous venons de donner, reposant en entier sur l'expression générale d'une fonction doublement périodique F(j?), que nous avons précédemment obtenue, savoir :

nciu> indiquerons encore un mojen d'y parvenir immédiatement, pn partant de Téquation

a 1 Ç(p-i-ai)fft -hù I {{p-\-a-\'bl)dt

Soient, roinuie plus liant,

a — -iK, h — il K', ••l prenons

I*ar la définition seule de la fonction !!(:?)» ou a

H(5-f-7.K) - il(^)' J n (^ — xîK ) __ H (J) /j: ( H(^ — 2IK') ~ 11(3) "^ K'

^•1 il m résulta*

f( j -h 'ji K) — f ( c;,

{{z-\- 'iiW\ = f(4;j-t- ~ F(-), K

de sorte que réquation précédente se réduit à f F(p-hàKt)c/t = — ^,

Or les divers résidus qui entrent dans A se rapportent d'une part à 5 = Çi, ^2} "", ÇjjLî et de Taulre à :; = ^; les premiers, s'ils correspondent, comme nous l'avons supposé, à des racines simples, donnent pour somme

et le résidu relatif à 3 = ^, racine simple de H(x — ^) = «? !»<-'ni évidemment — F(x). L'expression de A qui suit de là donne immédiatement la relation

J'ajouterai encore une remarque sur cette formule que j'écrirai, pour abréger, comme il suit :

En employant le théorème relatif à l'addition des arguments dans la fonction de seconde espèce (*), on trouvera aisément la relation

w'ix-:;) \V(x) n'o

-., = n t; — 5 rotang aniar Aainar

^ill uni ^ ^il1 uiiK .r — J)

^' ( x) (') C'est la quantité -7 r qui cnli-o tians Z(j:), mais un peut lui substituer

7;— — - ♦ à 1 aide de la relation sin ani x — — ^ -r ï qui donne, en prenant les

Il {X) ^ ^. ^(X) * ^

dérivées logarillimiqucs dos doux membres.

ir.>) H'(x)

— , ^ = eolans aina* Aamx.

Il M") H^J*)

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQt'KS. Jtly

d'où résuUc en substituant dans l'expression de F(x), et ayant égard à la condition

celle nouvelle formule

F(:r) = C-yR2^j-*-y-. "^!"'""f ,.

ou bien

F(a?) = consl. -+- > -: ,=—, ; -

.^d sm am^ sm ain(â7 — \)

Cesl donc encore la réduction de la fonction à double période à sinamjr cl à sa dérivée; mais la méthode plus rapide qui nous j conduit ne donne pas, comme la précédente, la relation importante, et que nous avons dû tenir à ne pas omettre, savoir :

s; — 2;'=2(aK-hPiK').

Celle nouvelle formule résulte d'ailleurs immédiatement de la

seule condition

comme nous allons encore le faire voir. Considérez en effet la fonction

sm aiii^ siii nin( j* — z)

dont les périodes seront 2Ket 2/K'. La somme de ses résidus comprendra d'une part ceux, qui se rapportent aux racines de l'équation

c'esl-à-dirc

^ siii amÇ sin ^x\\{x — X^)^ el puis les résidus relatifs aux deux équations

sin Aiwz = 0, sin am(a? — 5) = o.

(^)r. dans rinlervalie des périodes •>. K. et 2/K', on n'aura d'autres

24o OEUVRES DR CHARLES IIRRMITE.

Iransformation des fondions elliptiques, qu'en supposant J^ = i et X seule variable, et faisant, pour abréger,

on aura

dz -- dx

z étant lié k x par cette relation du troisième degré

&T» -4- ScT» -f- My'x H- g' "" rtJT^ -h '^bx^ H- 3cj? H- b' '

et M désignant une constante.

» C'est donc la transformation du troisième ordre qui s'offre comme conséquence de la théorie algébrique des formes biquadratiques.

» Paris, mai 1861. »

SUR