LE DÉVELOPPEMENT DE
cosam.r.
Comptes rendus de V Académie des Sciences, l. LVII, i863 (II), p. 6i3 tl Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. IX, i86^,2*s., p. 289.
En développant suivant les puissances de l'argument les trois fonctions sin amo:, cos am x, A amo:, on obtient les séries suivantes :
sin am^r = a? — (i -h A*) — — ^ H- (i H- i4^*-^- k^) 5— r~F ""•••»
COS amir = I — ^ h ( c -h 4 A** ) -
Aamar = i —A:* h(A*-+-4A:*)
où le coefficient d'un terme quelconque, :; > :; >
est une fonction entirre et à coefficients entiers du module k^.
Mais jusqu'ici il n'a pas été possible d'en obtenir l'expression
générale, et tout ce que Ton sait à leur égard résulte simplement
des relations
sin am ykx^ - j = A sin am(A^, k\,
cosanMA*^, 7) =Aam(a^, A).
On reconnaît ainsi que les coefficients de sinam:r sont des polynômes réciproques et que le développement de cosamx donne immédiatement celui de A amx. C'est de cette fonction, cosam.r, que je vais m'occuper eu ce moment, me proposant d'établir
REMARQUES SUR LE DÉVELOPPEMENT DE COS amâr. 265
i regard des coefficienls, dont voici les premiers d'après Gudermann :
la remarque suivante :
Posons k= cosô et introduisons les arcs multiples, au lieu des puissances du cosinus; en les multipliant chacun par A:, on trouvera successivement
k-h ^k^= 4cose -Hcos36, A: H- 44^' -H i6A:» = 44 cosô h- i6 cos36 H- cosSO, k-h 4o8A-*-i- 9i2A:»-H 64A-^= 912 cos6 -h 4«8 cos3 6 -h 64 cos56 -h COS76,
On aperçoit dans ces égalités que les puissances de k et les cosinus des multiples de 0 ont précisément les mêmes coefficients.
Or, en général, si Ton représente le coefficient de = r
dans le développement de cosam^r par
AoH- AiA-«-+- AjA-^-H. . .-h A„A«« = Y A/X:»',
on aura cette relation :
^A|Cos*^-^»6 = V A|Cos(2n -+-i — 4 06,
qu'on peut facilement démontrer, comme ou verra. Mais je veux d*abord faire voir, par un exemple, comment elle sert à calculer directement les nombres entiers Vq, A,, Aj, etc.
Soit n = 4' en faisant, pour simplifier, A|^4'^iî ^^ posant Ao= I, on trouvera, en remplaçant par les arcs multiples les puissances du cosinus
cosO -+- 4«i cos'0|-H i6flj cos»0 ■+- iV\a3 cos'O -+- i^Ga^ cos^Ô
= cos6 -+- rt|(cos ift -H 3 cosO) -+- aj(cos56 -f- 5 C()s30 -h lo cosO) H- aj(cos76 -r- 7 cosôô -r '?a cos30 -h 35 cosO; -»-a4(cos90 -H 9 COS7O H- 36 cos 50 -h 84 cos30 -h 126 cosô).
1l66 OEUVRES DE CHARLES UERMITE.
On en conclut, entre les quatre inconnues, les cinq équations que
voici :
I = ai,,
]6as= I H- 3ai-}- io«j-i- 35aj-+- 126^74, 64 ^3 = «1 -+- 5 ai -H 2 1 aj -+- 84 04, 256^4= rt,-h 9a4.
Leur somme conduisant à une identité, on peut omettre l'une d'elles, et, si l'on exclut la troisième, un calcul facile donne
ai = 922, a, = 1923, «j=247, «4=1.
ce qui conduit en effet au coefficient rapporté plus haut, d'après Gudermann. Laissant de côté l'étude de ces équations considérées en général, et me bornant à remarquer les valeurs
^»= ni — '
j'arrive à la démonstration de l'égalité
7 A< cos»^-*-^ 6 =\'A/cos(2n-+-i— 4«)0,
et à cette occasion, comme j'aurai à faire usage de la transformation du second ordre, je vais donner diverses formules qui s'y rapportent et qui peuvent être utiles dans bien d'autres circonstances.
La principale, celle dont toutes les autres peuvent être tirées, est
I, JL^k^ (i -h k) s\n 9im X (i-hk)x, . = r— r— • IH-Arj I -f- Arsin^anix
Il suffit pour cela d'opérer tour à tour sur les fonctions au module primitifs et au module transformé, en employant les relations de la transformation du premier ordre; on le démontre en partant de ce théorème arithmétique que tous les systèmes linéaires
BEMARQUB8 SUR LE DEVELOPPEMENT DE COSamjP. 167
dans lesquels cui — bc est un nombre premier />, sont donnés par uD seul d^entre eux
j ii o I \ o, p\
m le composant à droite et à gauche avec des systèmes
tu déterminant i . Or l'ensemble des relations relatives à la transormation du premier ordre consiste dans ces formules, savoir :
sinamf Xrar, 7 j = X: sin am^r, cos am ( kx^ j j = A amjp, [ Aam ^ Atjp, M =(
: COS amx.
sin am ( ix. k ) = î
cosamjr
I< cosam ( M7, A:' ) = Aam ( ix^ k' ) =s
I sinam lik'x^ p ) ~
\ cos am ( ik'x, p ) =
A am ( ik' x. -7-/ ) =
\ k J cos a
cos amj?
Aam^r
cos amx
ik' sin am jr cos amor Aamjr
cos dLïtïX
sinam
amJ7
ik sinamâ?
A amo?*
mx cos amj7
Aamjr ik\ Xr'siiiamr
/ ik\ k SI
sin am ( k x^ V ) ^ — T
ainor
(,, ik\ cos a m 07 k X. TT ] = — :
k J Aam 7
f A am ( A: J-, 77 ) = •
' \ ' k ] A amx
On en tire, par un calcul facile pour la transformation du second ordre, les formes suivantes :
sin am
(l-hk)X, ï-7 =
