THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES

Telles seront donc pour n très grand les expressions approchées de la somme des nombres de représentations par une forme (a, 6, c) de déterminant D positif et négatif des entiers positifs, impairs et premiers à D qui sont compris de l'unité à n. Ces expressions ne contiennent pas a, 6, c; le déterminant seul y figure, de sorte qu'il suffira de les multiplier respectivement parle nombre A, des classes de Tordre proprement primitif, pour en conclure la valeur approchée de la fonction précédemment désignée par F(/i). Il vient ainsi

et

'-Sl2l} h = ^2^ (i^) * (5) dans le cas de D négatif,

«?(D)log(TH-U/D) ^ ^ ^^ (i^) * (f) dans le cas de D posilif. Or on a, ainsi que nous l'avons remarqué en commençant,

le nombre m d'ailleurs a été pris égal à 2D1, de sorte qu'en divi* sant par n les deux égalités pour y supposer n infiniment grand, on trouvera les expressions remarquables découvertes pour la pr^ mière fois par Dirichlet, savoir :

la première se rapportant aux déterminants négatifs et la seconde aux déterminants positifs (*).

(•) Je dois m*cmprcsscr de déclarer qu'ayant eu occasion «le nreoiretcnir avec M. Liou ville de celle manière d'arriver aux résultats de M. Dirichlet, j'ai appris de ootre savant c<»nfrère qu'il y était parvenu, de sc»n côté, en se servant des propres indications de M. Dirichlet, et l'avait fait connaître à ses auditeurs du Collège de France.