h A- J~ cosamjrAamj

k 1 ï -+- ^" sin* amj:

k J ~~ cos amo? A amar

A am \ {\-^ k' )x,

I — k sin* ama?

cos amar A ama:

k' ) sin ania? cos amx A iimar — (i -h k') sin* ama?

A ama:

— (i — A') sin' am.r

A ama*

Aama?

[. , ... An- ik' 1 (A* — ik' ) sin ama? ( A- — lk')X, 7 rj-, = A* — ik J cos ama:

r. M .,, A*-h/A''1 I — (A — I A') A: sin* ama? (k-'lk')X. , :., = i^ , A- — «A- J cos ama:

r , -, , A- -+- t'A' 1 I — (Ah- ik' )k sin* am x

A am ( A: — tA- )ar, -. rp = •

L A- — ik J cos ama?

cosam

REMARQUES SUR LE DÉVELOPPEMENT DE COS am^r. 269

J^oinets d'écrire, pour abréger, toutes celles qui en résulteraient par le ehangement de signe de k ou k' ^ et par le changement des modules transformés en leurs inverses, et ne conduiraient pas, par conséquent, à de nouvelles formes analytiques dans les seconds membres.

C'est dans le dernier groupe que nous trouverons la relation conduisant à l'identité que nous voulons établir. En partant, en effet, de l'égalité

[, .,,, A:-+-«A:'l i — (A: — tX:')X: sin* amar (A: — ik )x, -. TTT = > k — ik \ cos ainx

on en déduira, par le changement de signe de k'^

[/f 'I, k — ik''\ I — (A- -h «A:')X- sin* amar k -h ik j cosaiDo^

d*où il sera facile de tirer

( k -i- ik' ) cos am ( A: — ik' ).r, j rp

-+-(Xr — t'A:') cos am (A: + ik' )x^ -r tt; = 2 A: cos amar.

Or, en posant

k = cos6,

cette égalité prendra cette forme

e^ cos a m ( e-'^x, e*'^ ) -»- ^ "*^ cos a m ( e^^x, e-*'^ ) = 2 cos 6 cos am jr,

et la relation que nous nous sommes proposé de démontrer en résulte évidemment, en comparant dans les deux membres les coefficients d'une même puissance de la variable.

Relativement à sinamj7, ce serait une formule de la transformation du quatrième ordre qui donnerait une conséquence sem* blable. Partant en effet de la relation suivante :

I — k sin* SLinx — cos amx A am jt

[i^y/ky sinamor

27'i (KUVRES DE CHARLES HERMITE.

Mais cette conséquence importante ne résulte pas des développements sous forme de quotients de séries des mêmes fonctions, savoir :

iKx I i\/g s'iiix — '2 v'7' sinSj* H- a V'^** sinSj^ — ..• sinam = -7= -^^ 7 7 ^^-^"s ? '

îKa? fk' 2 y/^cosj:-»- v.y r/'cosSxH- ^v'^^'cosDJ'-

cos am — ^.

ir \ k I — ^çf cos'2Jr -h 2^* cos4^ — '-i^'cosox -H.

Aam = /A-' 2 1 . 1^ ,

car c'est seulement alors la racine carrée du module et celle de son complément qui sont données en fonction de q par ces formules

Dans cette Note, je me propose d'établir, pour

sin amx, cosam:r, A amx,

de nouveaux développements en série de sinus et de cosinus analogues aux précédents, mais qui donneront aussi bien que les produits infinis les racines quatrièmes de A* et k comme fonctions uniformes de la variable w. On en déduira, en elVet, ces formules remarquables, où le signe 2^ s'étend à toutes les valeurs positives et négatives de n

\fk = > V ^' = »

2(-i )"?«"' 2(-i)"îr«"'

PORMl'LES RELATIVES AV MODULE. ETC. 27S

el auxquelles Jacobi est déjà parvenu dans son Mémoire intitulé : Uber nnendliche Reihen, deren Exponenten zu^leich in ZKvei verschiedenen quadratischcn Forme n ent halle n sind, en les déduisant des produits infinis en q rapportés plus haut. Les propriétés si importantes auxquelles donnent lieu ces quantités y/A' et \ k\ lorsqu'on y remplace lo pjir ^ . > a, />, c, d étant des

nombres entiers assujettis à la condition ad — bc= i, résultent de ces formules et peuvent être établies, comme j'espère le monirer, d*une manière simple et facile.

Pour abréger Técriture, je conviendrai de désigner les quatre fonctions

par Ô(x), 6|(-r), Tj(j7), r^^[x)^ de sorte qu'on ait, en mettant en évidence la quantité to dont il a été question tout à l'heure,

6 (jr, (i> ) = I — -ig cosîJ* -h 'iq^ co^\x — 2 y* cos6jr -+-..., 61 (jr, w) = I -h 27 COS2J? -\- 'iq^ cos^.r -h iq^ cos6a^ -H. . ., T, (jr,tu) = 'à{'q sin J^ — '2\/ y* sin 3ar -+- •;► yV/** sin ^ j: — . . . , rj|(x, ta) ) a= •iv^cosa:'-»- '2\/^®cos3a^-H ^y 7*^cos5a^ -+-....

G.*Ia posé, la transformation du second ordre donnera ces deux systèmes de relation

|2e«(x, u>) = r/rrÂ-o (t, ^ j -+- /i - A-e, /a?, ^ H 1/^'

et

9 (:r, o> ) 6|(x, u>) = \k' 6(237, 20i)i/- — , Ti (x, to)e (a:, tu)= -ï-rti (a:, -I 1/ — »

7J,(a7, (0)6,(27, tu) = -ï— 7), IX, ~j 1/ —,

lit

Tj (a:, u))6,^a:, ti})= -^^ ri ( ^. -— ^ — li/ — »

T^,(a:,(«j)e (a:,aj)= -4 ^«(^»~T~/V T"'

et c'est le second dont je vais faire usage comme il suit : Considérons, par exemple, le sinus d'amplitude : on aura

2Kir __ I Yj(a:, (u) 1 7)(a7, w) 6i(a7, w ) r. ~ ^ WixTîâ) ~" ^ 6(ar, (u)6,(ar, to) '

Or, en employant la première et la cinquième de ces relations, on obtiendra de suite

ou

bien

'^ ^'i\Jk ^(aa:, 20))

sinam

2Kar ^1 \/ q f>\x\ X -^ \/ q^ ûvi'i T — \Jq^'^%\nSx — ...

ir >/J i— iq^ co%^x -\- iq^ ço%%x — 'iq^^ coi 11 X -\-..

et le même procédé de transformation, appliqué à cosam 2jKa:

iKx

i cos am

et Aam -y donnera les résultats que voici :

A am

T^i f X, j 2a^~ ')'*9*' "*""cos(4n-h i)ar

FOEMULES RELATIVES AU MODULE, ETC. ^yS

et, en second lieu,

V /Z^ / X /r77 /^ V^?* y ç8/i«-HWi sin ( 8 71 -h 2 ) a? C05 am --— = /I I / T- - - /

T^fa:, — I * > 9«'«'-^-«sin(4 71-1-1)07

7)(a:, — ) ^^î/f«-t-/t sin(4 n -h par

Tels sont donc les modes nouveaux de développement des fonctions elliptiques, qui manifestent immédiatement que les quantités ^k et v/Ar' sont des fonctions uniformes de a>. Il suffit en effet de poser x^o dans les deux dernières équations du premier groupe pour obtenir

c'est-à-dire deux des formules rapportées plus haut d'après Jacobi, et dont les autres se tirent aisément, comme nous le verrons bientôt. Quant aux équations du second groupe, elles donneraient, en prenant le rapport des dérivées, deux termes pour :r = o.

^(~i)«(4n-Hi)<7«'''-^

les signes ^ s'étendant, comme précédemmeni, aux valeurs posilives cl négatives de n.

Mais ces nouveaux développements n'ont pas seulement pour objet de conduire à ces conséquences, que je vais donner principalement en vue de Tétude des quantités \fk et yk ; j'en indiquerai encore un usage dans la question suivante :

La dérivée de sin am\r étant exprimée par

v/(i — sin* amx) (i — k} sin* amT),

il est naturel de se demander si les combinaisons suivantes des facteurs du radical

X (a?, k) = /(i -h sin ama?) (i -+- A: sin amrr), ^i(j*i ^)'= /('-+- sin amâT) (i — A* sin amx)

représenteront aussi bien que

cosamj: = /i — sin^am:r et A ama: = /i — k^ sin* ama?

des fonctions uniformes de la variable. Or, en désignant par a une racine quelconque des équations a( j?) = o, X| (j^) = o, on reconnaît aisément que les développements \{a -+- s), X, (a -f- fi) commencent par un terme proportionnel à e, de sorte que d'après les principes connus (*) on peut assurer déjà que ces fonctions sont uniformes. On trouve en eifet, par exemple,

^ , , , , / T v^i — Xrsin* ame — cos ams Aamt .

A am£

et la quantité sous le radical est une fonction paire de e, qui s'annule avec cette variable. Mais il reste à trouver leur expression analytique, et Ton y parvient d'une manière facile comme il suit.

(M Voyez l'ouvrage de MM. Briot et Boiiqubt sur les foiictifins doublement périodiques.