FORMULES RELATIVES AU MODULE, ETC
el son complément par le changement de w en -j et ont pour valeur
Sous forme de séries simples, on aurait
, .. . /- V- "*"• 9'»cos(4n-hi)(- — 7 ) X /ii^, A = !li^V (~n'.! \l il.
SUR
Comptes rendus de l'Académie des Sciences^ l. LVJI, r863 ( H), p. 750.
En représentant, suivant Tusage, un système de p quantités indépendantes par la notation 5/, où Ton suppose
toute substitution entre ces quantités pourra se représenter analytiquement de la manière suivante :
la fonction ^{i) étant déterminée de manière à reproduire dans un autre ordre Tensenible des p valeurs de l'indice. Ce n'est, il est vrai, qu'une abréviation de la notation explicite
OÙ cr, 6, .. ., A- sont les nouveaux indires, et qu'on obtient immédiatement par la formule d'interpolation; toutefois, on verra qu'on en tire quelques résultats intéressants, au moins à l'égard des fonctions de sept lettres, en prenant pour symboles de distinction, au lieu des indices f =: o, i , 2, . . ., yt> — 1 , un système de résidus suivant le module/;. Sous ce point de vue, la formule d'interpolation se simplifie en efl'et, comme nous allons d'abord le montrer. Soit, pour un instant,
?p(j-) = T(ar — i)(a7 — 2)...(ar — p -^ \)\
on aura, comme on sait,
Or. en supposant p premier, et employant le théorème connu
:d(x)^ xP — X (mod p)^ d'où
on trouvera immédiatement
0(jr) ^ — a(xP-^— I) — bx{xP-^ -+- a:/»-» -h. . .-+-1)
— cx{xP-^ -h 1 xP-^ -h ... V iP-^ ) ~ . . .
— X:j^[xp-« -4- (/> — 1) a- A»-» -h ...-+-(/>— i)A^*J.
Ordonnant par rapport à or, et remarquant que les nombres a, é. ..., A-, coïncident, sauf Tordre, avec un système de résidus, de sorte que leur somme
a -4- 6 -4-. . .-+- A: = o (mod/?), il viendra
ce qui est un polynôme à coefficients entiers du degré p — a, et dont voici la propriété caractéristique :
Formons la suite des puissances et soit, en général,
Q« r x ) = ( /l )o -h ( /l ), a:- -4- ( /l ), X» H- . . . -+- r Al )nip-'ï) x**^P-'i\
je dis quon aura
(n)o-^(n )p, -h ( n h,p-i) -h ...-«-( n )^n- v, ,,,-1) = o. Effectivement, a, 6, . . ., A représentant dans un ordre quelconque
l^'ï QKCVftft^ »ft «!ll4ftLftS BftftVITE.
^ o ' mod p 1,
rl^. %fpfU^ f^n'f.n /rii minant ddnâ 9* < x > les paîssances de x dont l'expff^ni fM ^rip^ripor à // — i, ii l'aide de la relation x^~' ^ i, le i'.tp^AfitÂ^.ni du terme indéf>endant auquel on sera ainsi amené devra
Kl, r^/:iprfK|uefnent. tout poljnome à coefficients entiers, de de^r*^ p - Cl,
f|Mf remplir;! <:('.% rrondilions^ pourra servir à désigner une substitutforif c;ir en f^i^ant, pour un inâtant,
Im fonr^lion (:r — a) (x — b), ..(x — A) coïncidera, en vertu des
rehition»
xP — X ou x(x — \). , .{x — p -\-\),
ni, pur r()n.H(*({n<*nt, ri, /y, . . ., Xr représenteront un système de réfiidufi.
(livH priMiiirres nîinarques faites, nous allons les employer à rf^liidrdnM Hubntitntions, en partant de ce fait évident de lui-même cpir, rti 0(.r) rsl une fonrtion quelconque, propre à représenter uiu* Hut).Mhtn(i(>u, la suivante :
on rxoluanl la valeur a rs o, aura, quels que soient ^ et y» la même propri«4<^. Or, il i»sl aisé de définir, dans un tel ensemble d'expresîtiouji, uno formt* r<v/w/Vf». uni(|ue, qui, une fois connue, donnera loMloH loH aulrt*s, cl ro qui se présente le plus naturellement c'est do délonuiuor a do mauit^ro i\ rendre é^al à Tunité, dans 3^jr\ le oooflioiont do la puissance la plus élevée de la variable, 3 en faisant dii^pardili'o lo oooflîriout do la puissance immédiatement inférieure, ol y outiu, do sorte qu'il n y ail pas de terme indépendant. On
pourra même cherchera réduire ultérieurement 2^(^), en considérant Texpression oL^(ax), où il restera encore un entier arbitraire, après qu'on aura rendu égal à l'unité le coefficient du terme du plus haut degré. La notion des formes réduites ainsi établie pour les fonctions 6(x), nous allons, en considérant les cas de /> = 5 et ^ ^ "j, montrer comment elles se déterminent.
Premier cas ; /> = 5.
Les formes réduites sont
2^(3?) = T, x^, x^-\-ax\
la seconde est à exclure attendu que
et il ne reste à considérer que la dernière dont le carré est
ir« -+- 9- a -r* -h a* a?* ^ JT* ( I -H a* ) -H ?. a.
Devant faire disparaître le terme indépendant, il faut poser
toutes les autres conditions se trouvant d'ailleurs remplies par l'expression
il en résulte que la totalité des substitutions, pour un système de cinq lettres, s'obtiennent en employant pour indices
ajr-4-3, a(.r -+- 8)' -H Yî
où l'on n'excepte que la valeur a ^ o. M. Betti avait donné déjà ce résultat dans le Tome II des Annales de TortoUni et, récemment, M. Brioschi en a fait l'application la plus ingénieuse dans son beau travail sur la méthode de Kronecker pour la résolution de l'équation du cinquième degré {Actes de V Institut Lombard, année i858).
Deuxième cas : p^= 7.
On devra partir des expressions ^{x )^ Xj x^, X* -H ax, x^ -h ax* -+- bxy x* -4- oj?* -+- bx^ -+- cx^
dont la seconde et la troisième sont d'abord à rejeter, le terme indépendant existant nécessairement dans le cube de l'une et le carré
de l'autre. Soit donc
^(x)^x''-k- ax^ -h bx.
Le terme indépendant de ^^{x) donne immédiatement a ^ o. On trouve ensuite
d'où cette condition
3 6» H- ISO, 6 s ±3,
et, par conséquent, ces deux formes
Sr ar) = x*-+- 3a:, ar* — 3a7.
La seconde se ramène à la première en recourant au dernier mode de réduction que nous avons indiqué en commençant. On trouve, en efl'et, en prenant S7(;r ) ^ ^* — 3 j;, .
a* 3r( aa: ) = ar^ — 3 a^x^
de sorte qu'il suffit pour y parvenir de poser a' ^ — i , c'est-à-dire de prendre a non résidu de 7. Cela étant connu, on obtient, pour la série des puissances,
3r (a?) = a^^ -h 3a;, 'b^{x) = ^x^-^ 3a:«, 3r3 ( a? » ^ a"5 , bHx)^^x^'^ X, 278(a:) = 3a'5-h6a-V
Ainsi toutes les autres conditions se trouvent remplies d'ellesmêmes.
Soit, en dernier lieu,
&( a" ) ^ a?* -h ax* -¥■ bx^ -h ex ;
on aura, en égalant à zéro les termes indépendants dans le carré, le cube, et la quatrième puissance,
ac -h «* = o,
6(3 -^(Sac -¥- 6*)3 0,
ab^ -H 4 6* c* -♦- 2 ( a fl -t- c' ) ( 1 -^lac -f- 6* ) s o.
La seconde équation conduit à supposer d'abord 6^0, ce qui réduit la dernière à
(•la -h c^) ( I -f- 2 ac ) ^ o.
Or, en y faisant
c s — - a* = 3 a*, ®^le donne l'identité
2(a-Ha^)(i — a*)^2(a — a^)=o;
^n a donc cette expression
^{x) ^x'^ -h ax^ -h 3a'^,
^ù a reste indéterminé, mais que nous pouvons ramener aux cas de a ^ o, a ^ I et a ^ 3, d'après la relation
aS(aar) ^ x^ — aa^x^ -h 3 a* a* a*.
On vérifiera aisément que la cinquième puissance ne renferme pas d'ailleurs de terme indépendant. Supposons enfin que b ne soit pas ^ o, les deux dernières équations donnent, en y faisant c ^ 3a^ ,
a H- a* ^ o, d'où ces deux solutions
a ^ o, 6 ^ zb 2,
a' ^ — 1 , 6 ^ ih I ;
on en conclut ces nouvelles formes ré'duites
?S{X) ^ iT* it 2X*,
^{x) ^ j?* -H ax^ it ar* -H 3a* .r (a non résidu quadratique de 7), que nous ramenons, en opérant comme tout à l'heure, à celles-ci :
2r(ar) ^ a:* -»- 3ar' it :r* — x.
En résumé, toutes les substitutions d'un système de sept lettres, au nombre de 5o4o, se trouvent représentées de cette manière,
la fonction 0(:r) prenant successivement ces formes
j-* -+- aa?* -+- 3 a* a: (a quelconque),
x^ -h ax^ ± X* -^ ia^x {a non résidu de 7).
C'est le résultat que j'ai déjà indiqué dans une Lettre adressée à M. Brioschi, et publiée dans les Annales de M. Tortolini; je vais le compléter en présentant quelques remarques sur les diverses fonctions 2y(;r), et me servant à cet effet des formes réduites précédemment obtenues, savoir :
