X^ ■+- IX

a:* -4- ar' -+- 3 a?, a:* -H 3a:^ — x, a:» -h 3a?' db a:* — x.

A l'égard des deux premières, je distingue en deux groupes les valeurs de x, suivant leur caractère quadratique par rapport au module 7 ; on trouvera ainsi

a:* -+- 3a: := ix (x résidu quadratique de 7),

~ 4^ (^ non résidu de 7^,

ar* -H ix^ == ^x* {X résidu quadratique de 7)»

=2 a** (x non résidu de 7).

Pour la troisième, je distinguerai les indices en résidus cubiques, et non résidus par rapport à 7, et il viendra

a** -+- x' -h 3a: = — aa; (x résidu cubique de 7), ^ -h 2x [X non résidu cubique).

Pour les deux derniers enfin, on parviendra encore à des formes monômes, mais sous un point de vue bien dilFérent, car on trouvera

et. par suite, en faisant e = ±: i ,

ar» -+- 3x3 -f- ea?* — a? = (3 -h e)a:«, ar<<-,

s(— 3-he)a:«, jr>^.

Ces remarques, qu'on vérifie facilement, autorisent jusqu'à un certain point peut-être à supposer que, dans Tétude des formes analytiques de substitution pour un nombre premier quelconque/? de lettres, les expressions que nous avons nommées réduites se ramènent elles-mêmes à d'autres beaucoup plus simples, en considérant les valeurs de l'indice comme résidus ou non résidus de puissances dont l'exposant diviserait/; — i , ou bien encore comme divisées en ces deux séries

Soit, par exemple (*), une substitution réduite de la forme

'^{x) ^ax*^\x * -^ i) ^ bx^\x * — 1/ :

il est clair qu'on aura simplement

^(x)^'iax^ (jr résidu de /?),

^ibx^ {x non résidu de /?);

c'est à cette catégorie qu'appartient, dans le cas de/>= -j, l'expression

^(X) = J"* 'lX*y

qui vérifie les relations

3j[a?J(x) -h 6] s •jLab''3j( x h j-r- \ -\ (6» -h ib*) (a résidu de 7),

iS ^v;int cet exemple dans lequel p est un nombre premier quelconque, Hermite donne un autre exemple où p ^ 3 ( mod 4); nous l'avons supprimé dans le texte, CdF le passage nous parait conlcnir des incxaclitudes. E. P.

!l88 OEUVRES DE CHARLES HERMITB.

Il en résulte qu'on a un système de 168 substitutions conjuguées représentées ainsi :

(» j [ (a résidu de 7);

d'où cette conséquence, indiquée pour la première fois par M. Kronecker, qu'une fonction de sept lettres, invariable par ce système de substitutions, ne peut avoir que trente valeurs distinctes.