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SÉRIK DE FONCTIONS DK PLUSIEURS VARIABLES. l2i

Vî,i== '?4x^j^ - .\y, V,,,= 9.ij'^s— \x,

Vjj = ^^x^y — 'xfxxy,

Vi,3= Hory^—'^x^y,

Réciproquement on pourra exprimer j:'"^'" en fonction linéaire de ^ m,n ♦^t des polynômes du degré moindre, de sorte que la formule

représentera, en déterminant convenablement les constantes, tout polynôme entier en x et y. Voici maintenant leur propriété fondamentale.

Ginsidérons Tintégrale double

A = / ldxdy(i—'iax—iby-r-a'^-r-b^)^i\ — '>.a'T — 'ib'y-^-a'^-^b')-\ les variables étant limitées par la condition

Un calcul, pour lequel je renvoie aux Annales de i'Ecofe Normale su/jrrieure (année i865) (*), conduit à la valeur

. i: tib' — bft'

A — — — — ; arc lanj; ; z-r, *

au — b(t I — aa — 00

On voit que cette expression ne change pas en y remplaçant a et 6 par ai et bij a' et 6' par — > —j de sorte que / doit disparaître dans rinté«;:rale

r fdxdy\a'"bnt'"^ny^^^^^^'^/yyf \l yy^^.

( ' f Voir aussi Heiuiite, Œuvres, l. Il, p. 3i3.

iM OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Cela exige que Ton ait

/ / ^arâ[rVm,«Vj4,v=o, entre les limites

lorsque les degrés /?? -+- ^ et [jl -f- v sont différents. Cette proposition met sur la voie d'un développement tel que ^ A;„^«Vot,ii pour

toute fonction F(x,y), les variables étant assujetties à la condition x^-i-y^<i. Elle ne suffit pas toutefois pour la détermination des coefficients, et c'est en ce moment qu'il est nécessaire de considérer la seconde fonction dont nous avons parlé, à savoir

[i — si^a: — 26^-h a*(i— ^*)-t- 2637^-+- 6*(i — a?')] *.

Désignons par \Jm,n les polynômes entiers en x et j^, du degrt? /// 4- /i, ayant pour origine le développement

et dont voici les premiers

Uo.,= i(3^«-t-a7»— I),

L'intégrale double, prise comme précédemment entre les limites

SBHIB DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 3iî

x^-^y^^ij savoir

B= j Ç dxdy{\'-ia'x^ib'y-\'a'^-\-b'*)-^

x[i — 7,ax — '>.by -Ha*(i — ^*)-h labxy -t- b^ii — x')]" *, va nous donner leur propriété fondamentale. On trouve en effet

aa -\- bb ° i — aa — bb

\aleur qui ne change pas en y remplaçant a, 6, a', 6', par «/, 6w, --J — • Il en résulte qu^on a généralement

/ I dxdyy,n,n^^,w=o,

si les indices m et a, /i et v ne sont pas égaux en même temps ; et, dans rhypolhèse contraire, on obtient

r r j j XT ji T^ n -!- i./i -+- 2. . ./i -+- /?i

/ / dxdy\m,n^fn,n=

J J -^ • ' m-h/i-hi 1.2,.. m

Nous pouvons donc déterminer maintenant par la méthode ordinaire les coefficients du développement considéré plus haut, savoir

OU trouve ainsi

j j ^^rF(^.J-)U»..n=^^„^, ^-^^^^ -A,,,,.,

l'intégrale étant prise entre les limites x^-\-y^^\\ et c'est dans l'obligation d'introduire le facteur \Jm,n différent de V,„^„, que consiste d'une manière générale, nous pensons, à Tégard des fonctions de plusieurs variables, la modification caractéristique dont nous avons parlé en commençant. On pourrait également poser

mais c'est au premier développement que nous nous attachons de préférence, la nature du polynôme Um,/i permettant de reconnaître immédiatement que la valeur de \m,n tend vers zéro quand m et n

augmentent. Cela résulte effectivement, comme nous le verrons, (le l'expression suivante

que nous allons établir.

La série donnée par Lagrange pour la résolution de l'équation

c'est-à-dire

a^ dfiix)t^'(x) a^ d*/^( x)ff'(x )