SÉBIE DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

lions,

(i — lax -t- a«)" * = ^a^X;„

. . V^ sinr(/n- i)arc cosa^l

se prèle au mode de gcnéralisalion découvert par Gôpel et M. Rosenhain pour passer des séries elliptiques de Jacobi aux fonctions abéliennes d'un nombre quelconque de variables. En comparanl en eflet ces deux expressions

on est amené naturellement à l'étendre de cette manière I — 'lax — 2 by -+- ga^ -i- i hab -h g' 6*,

ou bien, avec n variables, x^ y^ s, . . ., u

I — lax — 'X by — ... — 2 Aa -t- o ( a, 6, c, . . . , A),

o{a, è, c, . . ., k) étant un polynôme homogène et du second degré en a, 6, ..., A*. Mettant, avec une indéterminée de plus, sous forme homog«'*ne,

/* — lalx — '>^bly -+-... — iklu -t- çp(a, 6, ... A:),

nous considérerons également sa forme adjointe ou contrevariant quadratique qu'on obtient aisément comme il suit. Soient

la forme adjointe de s, A son invariant, en faisant, pour abréger^

on trouvera pour résultat

Tels sont les éléments algébriques qui serviront de point de départ

à nos recherches; nous nous bornerons toutefois à deux variables

322 OBUVRES DE CHARLES UERMITE.

et au cas le plus simple où Ton suppose

ce qui conduit aux quantités

I — lax — ?.bjr -\~ a» -h 6*,

(i — aa: — 6^)* — (a'-h 6*)(a7«-+-^* — i)

= I— lax — ^bjr -h a^(i — y^)-h labxy -\- b^(i —x^).

Cela posé, les fonctions dont nous allons étudier les développements sont les suivantes que nous réunissons en deux groupes,

savoir :

(i — 2ax — 7.by -^ a*-+- ^*)~*,

[i — 7.ax — iby -+- a*(i — ^*)-H labxy -+- ô'(i — x^)\ *,

et en second lieu

( I — 2 « j: — '1 6^ -H a* -h 6* )" *, (i — a?* — ^*)' [i — lax — xhy -\- a'(i — ^*)-^ i^abxy -t- 6*(i — Jf*}]~*.

Leur analogie avec les fonctions d'une variable, qu'elles comprennent comme cas particulier en supposant b = o et j^ = o, se rapporte donc à la fois aux polynômes de Legendre, et aux formules pour la multiplication des arcs dans la théorie des fonctions circulaires.

Soit en premier lieu

(i — Aax — xby -f- a*-f- 6*)-» = \]a"*^'*V^„,M.

On reconnaîtra immédiatement que \ m,n est un polynôme entier en X et^, du de^ré ni -+- /i, mais ayant x^^y*^ pour seul et unique terme de ce degré. On aura par exemple

Vo.«-

•IXy

Vi..=