dz^ 2^ ' J i

I ^•ai.3 , f^/.

^rro ^rfF ri^"^* ^*(^ -^^ -'^ -^••-

Cela poséy nous en déduirons l'ensemble homogène des termes de degré A: en a et 6, en développant, suivant les puissances de ^, la quantité

" = 7^=2^'' ainsi que ses dérivées

du v' d^u

dz ^^ dz* j^

F^ar là on obtiendra cette expression dont la loi est manifeste :

k k — I . Ar — 2M it — 5 . I. i ^ -^ . ^ , ^ ,

De s«>rte qu'en mettant au lieu de j ia valeur ax — hy\, on sera conduit à la relation suivante

If, le I . (

Elle met immédiatement ce fait en évidence, que pour des valeurs positives des coordonnées, rendant positive la fonction x'^-Jry'^—i, toutes les quantités Ua,o, L'a-i,i, •••? Ui,a,, Uo,* seront également positives. Or U/„,„, suivant ces quatre cas, savoir :

} (modi),

ajant pour expression

F(xt,y^), xFix\y*), j^F(ar«,^«), xjrF{x^,y^u

ne pourra par conséquent jamais s'annuler, quel que soit le signe des coordonnées, abstraction faite du facteur x ou y, qu'en supposant j?^ +j^^ — I <, o, ce qui démontre noire proposition.

Pour en donner un exemple, considérons la courbe L,«,o= o; on vérifiera aisément qu'elle est composée, suivant que m est pair

ou impair, de — ou — ; — ellipses ayant pour équations — -[->'•*= i,

où p est une des racines du polynôme X^ de Legendre. Ces racines étant moindres que Tunité, les diverses ellipses sont bien efleclivement comprises dans le cercle

Démontrons en dernier lieu qu'une parallèle à l'axe des y, par exemple, rencontre en n points la courbe [Jm,n= o, et remarquons à cet effet qu'on peut poser

en désignant par Z une fonction entière en x al y. Il en résultera

'"'""^ I. <.. .111. I. >... ./i.-2"»*« dp' '

<,'t sous cette forme le tliéorème de RoUe suffit pour montrer (|ue. par rapport à^, l'équation U,„ ,^ = o admet n racines réelles comprises entre les limites — y/i — jc-^ +V^' — '^^' "^otre courbe esi donc eirectivemcnt rencontrée en n points par Tune quelconque des ordonnées du cercle j7--h.»'^= i .

La même démcmstralion s'appli(|uera d'ailleurs à une parallèle a l'axe des x.