SÉRIE DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

avec la condition

quand m -\- n n'est pas égal à [jl H- v. Nous le déduirons de la formule suivante

J ^^^ dx^ dx^V -^^^j^ -^ ^^., ^ -i- ^^, ^„3 . . . qui donne

en supposant que a et 6 annulent ^(x) et ses n — i premières dérivées. Considérons, en effet, l'intégrale double

avec la condition

et commençons par rapport à la variable y l'intégration qui devra être faite entre les limites — y/i — x'^^ -+- y/i — ^'' ^^ ^^^^

dy^' dx^"

de sorte qu'on peut écrire

Opérant en second lieu sur la variable x, comme on l'a fait sur^, on aura

/* /• dff*-*-" F(x v^

= ( - ■)""" j J d"^y dx'" V" ^ ^' + r' - 0'"^".

33o œtVRKS DE CHARLES HERMITE.

et la proposition annoncée s'ensuit en prenant

et supposant [jl -f- v < /?i -1- w , ce qui annule évidemment le second membre. Il en résulte, comme on le montre aisément, que le polynôme Um,n est une fonction linéaire des divers polynômes Wm^.^j ^m+/i«,j, ..., Vo,OT+/iî de degré m -h n.

Considérons en second lieu le terme général du développement de la fonction quelconque F{x^y) sous la forme

savoir :

En appliquant la même formule au second membre, on en déduira

= ( , yn^n j j dxdy ^,„^^,r (^' + r' - •)"■-"

= Jjd.dy '^"'2l^J;/\^- -r'-r')— .

ce qui introduit sous les signes d'intégration les puissances d'un facteur moindre que Tunité, et qui sont d'autant plus petites que les indices m et n sont plus grands. Comme on trouve aisément d'ailleurs

/ / dxdY{\ — x^—Y^y»-^"= .

on aura, si 1 on appelle p;,,,,, le maximum de 1 expression — , ^ , j,*^

sous la condition x^'\-y'^'>-\^ cette limite supérieure fort simple de A;„,„, savoir

! .vt. . .m -h /1.2"

En supposant donc que ^^^^^ ne dépasse jamais une

SÉBIK DE PONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 33l

certaine constante A", les termes du développemenl considéré- X*^«,i»Vm,ï» ne dépasseront pas non plus ceux de la série suivante

ropré^enlant la fonction dans riiypothèse

a = - cl b = -•

Mais d'autres propriétés du polynôme \Jm,n vont encore nous montrer, et indépendamment de la transformation précédente, que la valeur de Am,n diminue quand les indices augmentent.

On sait que la fonction X,, de Legendre reste, quel que soit /î, numériquement moindre que Tunité lorsqu'on fait variera de — i à -hi, et que Téquation X„=o admet entre ces mêmes limites n racines réelles et inégales. Par conséquent, dans Tintégrale

F{x) se trouve multiplié par un facteur qui change n -4- i fois dr signe entre les limites et sans dépasser l'unité. Or, aux infiniment petits près du second ordre, une fonction prend des valeurs égales et dif signes contraires avant et a|)rds son passage par zéro, la fonction ¥{x) variant alors infîniment peu, on voit que le facteur X,, a pour effet d'amener dans le voisinage de ses racines des éléments <lo l'intégrale infiniment peu différents et de signes contraires, iloù résulte que Tintégrale diminue de valeur quand le nombre de ces racines auguiente. Des considérations semblables s'appliquent à rintégrale double

dxdyV(x,j){],„,nr

donl les limites sont déterminées par la condition

et reposent sur les propriclcs suivantes du polynôme Um,/i-

Supposons que les variables x et y représentent des coordonnées rectangulaires, la courbe donnée par l'équation Um,/? = o, abstraction faite du facteur x ou y^ suivant les cas, sera toute comprise dans l'intérieur du cercle x'^ -h y^ = ^ ', de plus, elle sera rencontrée en m points par une parallèle à l'axe des abscisses, et en n points par une parallèle à Taxe des ordonnées. Ce sont les changements de signe du l'acteur U,«,«, résultant de ces intersections, qui amèneront dans les intégrations relatives k x ou ky\es mêmes conséquences et la même conclusion que précédemment (*).

Le premier point résulte d'une forme de développement de l'expression

[i — lax — iby-^ a*(i — ^')-t- xabxy-^- 6*(i — a?*)]"*,

qui S'obtient de la manière suivante. Soit pour un instant

i— ax — by

elle pourra s'écrire ainsi

m[i— (a'-t-6*)(a?*-+->'*— i)m«]'*, ce qui donnera la série

Faisant encore

ax -+- by = 5,

(') Je duis faire remuriiucr toutefois une diflféreoce en ce qui concerne le maximum de U^^. égal à l'unité lorsque l'un des indices est supposé nul, et donl TexpressioD générale est